高中数学：圆的方程.docx

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[玩前必备]

岡的定义
两点间距
|]论
[提醒]
展开挟?£
岡的一般方程
丨平血內到定点的的点的悽合:飞贱"1世典遲吏選閱令崖一纯貿鯉哲jC石匸諒玉奈反d冈丽]
[心*以r曲Y径的圆J
I占f-i)x.-Eyi/'-O(p--/f^-l/'l,Jf示以
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[i
当D2+E2—4A>0时,此方程表示的图形是圆;当D2+^2-4F=0时,此方程表示一个点
(-2
当D2+^2—4F<0时,它不表示任何图形.

圆的标准方程为(x—a)2+(y—b)2=r2(r>0),圆心C的坐标为(a,b),半径为r,设M的坐标为(x0,y0)
伽关剧:儿甲法]
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代数法
融-』丹仗5-川_声
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[常用结论]
‘A=CHO,
二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是<B=0,
D2+E2—4AF>0.
⑵以Ag,yj,B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x—X])(x—x2)+(y—yJCy—y2)=0.
[玩转典例]
考点一求圆的方程
【例1】(1)(河北新华•石家庄二中高一期末)过点A(1,—1),B(T,l),且圆心在直线x+y-2二0上的圆
的方程是()
A.(x-3匕+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4
N4BC的三个顶点分别为A(0,5),B(l,—2),C(—3,—4),求其外接圆的标准方程.
求过不共线A,B,C三点的圆的方程常见两种方法:
一是根据所求圆为AABC的外接圆,即求任意两边的中垂线交点为圆心坐标,顶点到圆心距离为半径,即可求出圆的方程.
二是待定系数法,设圆的一般方程X2+y2+Dx+Ey+F=0,把三个点的坐标代入,求出待定系数D,E,F,即可求出圆的方程.
【玩转跟踪】
若不同的四点A(5,0),B(—1,0),C(—3,3),D(a,3)共圆,则a的值为.
(2020•河南濮阳•高一期末(理))设A(2,T),B(4,l),则以线段AB为直径的圆的方程是()
A.(x-3)2+y2=2B.(x-3)2+y2=8
C.(x+3)2+y2=2D.(x+3)2+y2=8
考点二圆的一般方程
【例2】方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a—1=0表示圆,则a的范围是()
2
2
<—2或a>—
B.—才<a<2
3
2
C.—2<a<0
D.—2<a<—
3
玩转跟踪】
,若方程x2+y2+2x+4y+m=0表示的曲线是圆,则m的取值范围为(
A.(一〜20)
B.(-8,5)
C.(5,+8)
D.(20,+8)
A.(x—2)2+(y+1)2=1B.(x—2)2+(y+1)2=4
2.
A.
充分不必要条件

1
“m>―”是"x2+y2一2mx一m2一5m+3=0为圆方程”的()
2
A.(x—2)2+(y+1)2=1B.(x—2)2+(y+1)2=4
C.
充要条件

+y2-2(m+3)x+2G—4加2)歹+16加4+9=0表示一个圆,则实数m的取值范围为()
A.(-1,1)
B.(-1,1)
11
C.(-8,-7)U(1,+s)D.(一®-1)U(7,)
考点三
点与圆的位置关系的判断
【例3】已知点力(1,2)不在圆C:(x—a)2+(y+a)2=2a2的内部,求实数a的取值范围.
【玩转跟踪】,b是方程x2—x—V2=0的两个不等的实数根,则点P(a,b)与圆C:x2+y2=8的位置关系是()


题型四与圆有关的最值问题(提前讲下圆的切线)(难点)
例4已知实数X,y满足方程X2+y2—4x+1=0,贝9
X的最大值和最小值分别为―______和;
x
y—x的最大值和最小值分别为和;
X2+y2的最大值和最小值分别为_____和.
例5设点P(x,y)是圆:x2+(y—3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(—2,0),则PA•PB的最大值为
【玩转跟踪】
1•已知两点A(0,—3),B(4,0),若点P是圆C::2+y2—2y=0上的动点,则AABP的面积的最小值为
已知实数x,y满足(x—2)2+(y—1)2=1,则z=yx^的最大值与最小值分别为—______和.
x
A.(x—2)2+(y+1)2=1B.(x—2)2+(y+1)2=4
设点P(x,y)是圆:(x—3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,—2),贝川商+PB|的最大值为
A.(x—2)2+(y+1)2=1B.(x—2)2+(y+1)2=4
题型五与圆有关的轨迹问题
例6已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(—1,0),B(3,0).
求直角顶点C的轨迹方程;
求直角边BC的中点M的轨迹方程.
【玩转跟踪】
1•自圆C:(x—3)2+(y+4)2=4外一点P(x,尹)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为()
—6y—21=+6y—21=0
+8y—21=—8y—21=0
(—3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.
[玩转练习]
圆x2+y2—2x—8y+13=0的圆心到直线ax+y—1=0的距离为1,则a=(

点P(4,—2)与圆x2+y2=4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为(
A.(x—2)2+(y+1)2=1B.(x—2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y—2)2=4D.(x+2)2+(y—1)2=1
(—题多解)已知圆C截两坐标轴所得弦长相等,且圆C过点(一1,0)和(2,3),则圆C的半径为()

Da,'5
3.
A.
C.
4.
A.
方程协|一1=\:1一(兀一1)2表示的曲线是()
C.
两个圆

一个椭圆B.—个圆
A.(x—2)2+(y+1)2=1B.(x—2)2+(y+1)2=4
A.(x—2)2+(y+1)2=1B.(x—2)2+(y+1)2=4
5.
(多选)已知圆C关于尹轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段,弧长比为1:2,则圆C的方程为()
C.
+
4
23
(x—-j3)2+y2
+
_4
=3
=4
=3
D.(x+\;3)2+y2=4
A.(x—2)2+(y+1)2=1B.(x—2)2+(y+1)2=4
侈选)已知点/(—1,0),B(0,2),点P是圆(X—1)2+y2=1上任意一点,若△PAB面积的最大值为a,最小
值为b,贝%)
=2
=2-¥
D.
=
一1
已知三点A(1,0),B(0,逅),C(2,萌),则AABC外接圆的圆心到原点的距离为.
在平面直角坐标系内,若曲线C:x2+y2+2ax—4ay+5a2—4=0上所有的点均在第四象限内,则实数a
的取值范围为
圆C的半径为1,圆心在第一象限,与y轴相切,与x轴相交于点A,B,若|AB|=-^,则该圆的标准方
程是.
在AABC中,AB=4,AC=2,A=f,动点P在以点A为圆心,半径为1的圆上,则雨的最小值为.
已知M为圆C:x2+y2—4x—14y+45=0上任意一点,且点0(—2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值;
n—3
⑵若M(m,n),求m+2的最大值和最小值.
A.(x—2)2+(y+1)2=1B.(x—2)2+(y+1)2=4
已知方程x2+y2—2x—4y+m=0.
(1)若此方程表示圆,求实数m的取值范围;
⑵若(1)中的圆与直线x+2y—4=0相交于M,N两点,且OMLON(O为坐标原点),求m的值;
在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程.