排列组合问题的解题方法与技巧的总结完整版.docx

授
学 年
数
教学目
教学重点
的要求 , 因此老师是特殊
元素 , 在解决时就要特殊对待 . 所涉及问题是排列问题 .
解 先排学生共有 种排法 , 然后把老师插入学生之间的空档， 共有 7 个空档可插 ,
选其中的 4 个空档 , 共有 种选法 . 根据乘法原理 , 共有的不同坐法为
种 .
三、复杂问题 -- 总体排除法或排异法
有些问题直接法考虑比较难比较复杂， 或分类不清或多种时， 而它的反面往往比
较简捷， 可考虑用“排除法”， 先求出它的反面 , 再从整体中排除 . 解决几何问题
必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例 3.(1996 年全国高考题 ) 正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中 3 个点为顶
点的三角形共有 个 .
解：从 7 个点中取 3 个点的取法有 种，但其中正六边形的对角线所含的中
心和顶点三点共线不能组成三角形，有 3 条，所以满足条件的三角形共有
－3＝32 个.
练习： 我们班里有 43 位同学 , 从中任抽 5 人 , 正、副班长、团支部书记至少有一
人在内的抽法有多少种 ?
分析 此题若是直接去考虑的话 , 就要将问题分成好几种情况 , 这样解题的话 , 容
易造成各种情况遗漏或者重复的情况 . 而如果从此问题相反的方面去考虑的话 ,
不但容易理解 , 而且在计算中也是非常的简便 . 这样就可以简化计算过程 .
解 43 人中任抽 5 人的方法有 种 , 正副班长 , 团支部书记都不在内的抽法
有 种, 所以正副班长 , 团支部书记至少有 1 人在内的抽法有 种 .
四、特殊元素 -- 优先考虑法
对于含有限定条件的排列组合应用题， 可以考虑优先安排特殊位置， 然后再考
虑其他位置的安排。
例 4． (1995 年上海高考题 ) 1 名老师和 4 名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法
种．
解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，
有 3 种，而其余学生的排法有
种，所以共有
＝72 种不同的排法 .
例 5．（ 2000 年全国高考题）乒乓球队的 10
名队员中有
3 名主力队员，派 5 名队员参加比赛，
3 名
主力队员要安排在第一、三、五位置，其余
7 名队员选
2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场
安排共有
种 .
解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有
种排法，而其余
7 名队员选出
2 名
安排在第二、四位置，有
种
排法，所以不同的出场安排共有
＝ 252
种 .
五、多元问题