基本不等式知识点.docx

根本不等式知识点
1、不等式的根本性质
①〔对称性〕
②〔传递性〕
b,b
③〔可加性〕
〔同向可加性〕
a b, c
〔异向可减性〕
a b, c
④〔可积性〕
b,c
ac
bc
a b, c 0
ac
22
xi x2)(y1 y2)(xi,yi,x2,y2R).
④二维形式的柯西不等式:
(a2 b2)(c2 d2) (ac
2
bd) (a,b,Gd R).当且仅当ad bc时，等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式:
22222
(&a2a3 )(bd

, 22
b3 ) (aibi a2b2 a3b3).
⑥一般形式的柯西不等式:
,222、八
(a1a2... an)(blb2...bn)(a1b1a2b2…anbn)
,当且仅当 是零向量，或存在实数k ,使 k
⑦向量形式的柯西不等式：
设，是两个向量，那么 时，等号成立.
设 a〔 a? ... an,b1
⑧排序不等式〔排序原理〕
b2 … ，c2,…，a是以，＞，…，*的任一排列，那么
aha2bn 1...anh
4G
a2c2 ... anCn优。a2b2… 小灯.〔反序和乱序和
顺序和〕，当且仅当a1
a2
an或b1b2... bn时，反序和等于顺序和
⑨琴生不等式：〔特例：凸函数、
凹函数〕
假设定义在某区间上的函数f(X),对于定义域中任意两点4&(X泡)，有
f1)
f(Xi) f(X2)
或“七22)
f(Xl) f (X2)
2 那么称f(x)为凸〔或凹〕函数.
4、不等式证明的几种常用方法
常用方法有：比拟法〔作差，作商法〕 其它方法有：换元法、反证法、放缩法、 常见不等式的放缩方法：
、综合法、分析法；
构造法，函数单调性法,
数学归纳法等
①舍去或加上一些项，如
(a
(a I
②将分子或分母放大
〔缩小〕
1
如k2
1 , k(k 1)
k(k
1)
1
Jk
*
N ,k
1)
等
5、
元二次不等式的解法
2
求一元二次不等式ax
bx c
0(或
0)
(a
2
0, b 4ac 0)解集的步骤:
一化 二判 三求 四画
大于取两边
化二次项前的系数为正数 判断对应方程的根.
求对应方程的根.
画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集 . 规律：当二次项系数为正时，小于取中间,
6、高次不等式的解法：穿根法 .
,结合原式不等号的方向,
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿〔奇穿偶切〕 写出不等式的解集.
7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，那么
f(x)
g(x)
磊0
f(x) g(x) 0
f (x) g(x) 0
g(x) 0
〔“或”时同理〕
规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解
,f(x) a(a 0)
⑴
f(x) 0 f (x) a2
X7(x) a(a 0) ⑵
f(x) 0
f(x) a2
,f(x) g(x)
⑶
f(x) g(x) f(x)
0