数学物理方程谷超豪.doc

数学物理方程答案谷超豪
【篇一：数学物理方程第二版答案(平常课后习题作业)】
>第一章．颠簸方程
方程的导出。定解条件
绝对柔嫩逐条而平均的弦线有一端固定，在它自己重力作用下，此线处于铅垂平衡地址，试导出此线的细
an?an?
tn(t)?ancost?bnsint，(n?1,2?)
ll
于是u(x,t)?
?(ancos
n?1
?
an?an?n?
t?bnsint)sinxlll
今由始值确立常数an及bn，由始值得
3?x?n?
sin??ansinx
lln?1
x(l?x)??
an?n?
bnsinxlln?1
?
所以a3?1,an?0,当n?3
2n?
bn?x(l?x)sinxdx?an?0l
2
?an?
??ln?l2n??xcosx?sin?l??lln2?2??n?
??l2n?x??xcosx??l??n?
l
2l2xn?2l3n?
?22sinx?33cosx
lln?n?
所以所求解为
??
l
4l3
?44(1?(?1)n)an?
3a?3?4l3
u(x,t)?cotsix?
lla?4
2??2u2?u?0?2?a2?t?x??
?u(0,t)?0
?
?u(x,0)?hx,?l?
1?(?1)nan?n?sitsix?4llnn?1
?
?u
(l,t)?0?t?u(x,0)?0?t
解：界线条件齐次的，令u(x,t)?x(x)t(t)
得：?
?x????x?0
(1)
x?(l)?0?x(0)?0,
2
及t???a?x?0(2)。
求问题(1)的非平凡解，分以下三种情况议论。
1???0时，方程的通解为
x(x)?c1e
??x
?c2e?
??x
由x(0)?0得c1?c2?0由x?(l)?0得c1??e??l
?c2??e?
??l
?0
解以上方程组，得c1?0，c2?0，故??0时得不到非零解。
2???0时，方程的通解为x(x)?c1?c2x
由边值x(0)?0得c1?0，再由x?(l)?0得c2?0，仍得不到非零解。
3???0时，方程的通解为
x(x)?c1cos
x?c2sinx
由x(0)?0得c1?0，再由x?(l)?0得c2
?cos?l?0l?0，于是2
为了使c2?0，一定cos
?2n?1?
???n????(n?0,1,2?)
?2l?
且相应地获取xn(x)?sin
2n?1
?x(n?0,1,2?)2l
2n?12n?1
a?t?bnsina?t(n?0,1,2?)2l2l
将?代入方程(2)，解得
tn(t)?ancos
?
于是u(x,t)?再由始值得
n?0
?(ancos
2n?12n?12n?1
a?t?bnsina?t)sin?x2l2l2l
?
2n?1?h
x?asin?x?n??l2ln?0
??
2n?12n?1?0??a?bnsin?x
?2l2ln?0?
简单考据?sin
l
??2n?1?
?x?(n?0,1,2?)组成区间[0,l]上的正交函数系：2l?
?2m?12n?1?0当m?n
sin?xsin?xdx??l?当m?n2l2l?0?2
【篇二：数学物理方程第一章部分答案】
>1方程的导出。定解条件
1．细杆（或弹簧）受某种外界原由此产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t走开本来地址的偏移，假设振动过程发生的张力听从虎克定律，试证明u(x,t)知足方程
???u????u?
???x????e??t??t??x??x?
此中?为杆的密度，e为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，此中两端于静止时的坐标分别为

x与

x??x

。
现在计算这段杆
在时刻t的相对伸长。在时刻t这段杆两端的坐标分别为：
x?u(x,t);x??x?u(x??x,t)
其相对伸长等于令
[x??x?u(x??x,t)]?[x?u(x,t)]??x
?ux(x???x,t)