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Written by Peter at 2021 in January
高中数学平面向量知识点总结
平面向量知识点总结
第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。
向量的概念：
向量：向量是既有位向量, 作基底，则平面内作一向量=x+y，
记作：=(x, y) 称作向量的坐标
2．注意：1每一平面向量的坐标表示是唯一的；
2设A(x1, y1) B(x2, y2) 则=(x2x1, y2y1)
3两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。
3．结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。
4．实数与向量积的坐标运算：已知=(x, y) 实数λ
则λ=λ(x+y)=λx+λy
∴λ=(λx, λy)
结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
八．向量平行的坐标表示
结论：∥ ()的充要条件是x1y2-x2y1=0
注意：1消去λ时不能两式相除，∵y1, y2有可能为0， ∵
∴x2, y2中至少有一个不为0
2充要条件不能写成 ∵x1, x2有可能为0
3从而向量共线的充要条件有两种形式：∥ ()
九．线段的定比分点：
线段的定比分点及λ
P1, P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1, P2的任一点，存在实数λ，
P1
P1
P1
P2
P2
P2
P
P
P
使 =λ λ叫做点P分所成的比，有三种情况：
λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)

3．中点公式：若P是中点时，λ=1
4．注意几个问题：
1 λ是关键，λ>0内分
λ<0外分
λ-1 若P与P1重合，
λ=0 P与P2重合
λ不存在
2 中点公式是定比分点公式的特例
3 始点终点很重要，如P分的定比λ= 则P分的定比λ=2
4 公式：如 x1, x2, x, λ 知三求一
十．平面向量的数量积及运算律
（一）平面向量数量积
定义：平面向量数量积（内积）的定义，ab = |a||b|cos，
= 0
= 180
O
O
O
O
O
O
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
C
并规定0与任何向量的数量积为0。
向量夹角的概念：范围0≤≤180
C
注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
1两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。
2两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。
3在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0。因为其中cos有可能为0。这就得性质2。
O
a
A
c
b
4已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c。但是ab = bc a = c
如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|
bc = |b||c|cos = |b||OA|
ab=bc 但a c
5在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。
投影的概念及两个向量的数量积的性质：
1．“投影”的概念：作图
A
OO
BO
B1O
a
b
A
OO
BO
B1O
a
b
A
OO
BO
(B1)O
a
b
定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。
注意：1投影也是一个数量，不是向量。
2当为锐角时投影为正值；
当为钝角时投影为负值；
当为直角时投影为0；
当 = 0时投影为 |b|；
当 = 180时投影为 |b|。
2．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b