3-3泰勒公式.ppt

3-3泰勒公式
特点:
一、泰勒公式的建立
以直代曲
在微分应用中已知近似公式 :
需要解决的问题
如何提高精度 ?
如何估计误差 ?
x 的一次多项式
1. 求 一n 次多项式
使其满足:
故
3-3泰勒公式
特点:
一、泰勒公式的建立
以直代曲
在微分应用中已知近似公式 :
需要解决的问题
如何提高精度 ?
如何估计误差 ?
x 的一次多项式
1. 求 一n 次多项式
使其满足:
故
令
则
∴
2. 余项估计
令
(称为余项) ,
则有
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
泰勒中值定理 :
阶的导数 ,
时, 有
①
其中
②
则当
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
注意到
③
④
* 可以证明:
④ 式成立,
但①式必须有直到n+1阶导数
在x0处可微的充要条件:
特例:
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
给出拉格朗日中值定理
可见
误差
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
则有
在泰勒公式中若取
则有误差估计式
若在公式成立的区间上
由此得近似公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式
其中
或
其中
或
类似可得
其中
或
其中
或
已知
其中
类似可得
或
(5)
(4)
(3)
(2)
(1)
注:
三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
误差
M 为
在包含 0 , x 的某区间上的上界.
已知
例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过
解:
令 x = 1 , 得
由于
令
由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,
因此
的麦克劳林公式为

解:
原式
(P143 10(3))
2. 利用泰勒公式求极限
3. 利用泰勒公式证明不等式
例3. 证明
证:
内容小结
1. 泰勒公式
其中余项
当
时为麦克劳林公式 .
2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P140 ~ P142 )
3. 泰勒公式的应用
(1) 近似计算
(3) 其他应用
求极限 , 证明不等式 等.
(2) 利用多项式逼近函数 ,
4
2
2
4
6
4
2
0
2
4
6
泰勒多项式逼近
4
2
2
4
6
4
2
0
2
4
6
泰勒多项式逼近
作业 P145
1 ;4 ; 5 ; 7 ; 10(1),
解:
1.
设f(x)在x=0的附近二阶可导且
求
及极限
所以
或
感谢您的关注