33泰勒公式.ppt

33泰勒公式98250
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
注意到
③
④
* 可以证明:
④ 式成立
特例:
(1) 当 n = 0 33泰勒公式98250
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
注意到
③
④
* 可以证明:
④ 式成立
特例:
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
给出拉格朗日中值定理
可见
误差
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
则有
在泰勒公式中若取
则有误差估计式
若在公式成立的区间上
由此得近似公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式
其中
其中
类似可得
其中
其中
已知
其中
类似可得
三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
误差
M 为
在包含 0 , x 的某区间上的上界.
需解问题的类型:
1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;
2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;
3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
已知
例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过
解:
令 x = 1 , 得
由于
欲使
由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,
因此
的麦克劳林公式为
例2. 用近似公式
计算 cos x 的近似值,
使其精确到 , 试确定 x 的适用范围.
解:
近似公式的误差
令
解得
即当
时, 由给定的近似公式计算的结果
能准确到 .
2. 利用泰勒公式求极限
解
原式
例4 利用带有佩亚若型余项的麦克劳林公式，求极限
解 由于分式的分母
所以，用带有佩亚若型余项的三阶麦克劳林公式，即
内容小结
1. 泰勒公式
其中余项
当
时为麦克劳林公式 .
2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P140 ~ P142 )
3. 泰勒公式的应用
(1) 近似计算
(3) 其他应用
求极限 , 证明不等式 等.
(2) 利用多项式逼近函数 ,
思考与练习
计算
解:
原式