CH33泰勒公式.ppt

CH33泰勒公式
特例:
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
给出拉格朗日中值定理
可见
误差
机动 目录 上页 下页 返回 结束
CH33泰勒公式
特例:
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
给出拉格朗日中值定理
可见
误差
机动 目录 上页 下页 返回 结束
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
则有
在泰勒公式中若取
则有误差估计式
若在公式成立的区间上
麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束
由此得近似公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式
其中
机动 目录 上页 下页 返回 结束
其中
机动 目录 上页 下页 返回 结束
类似可得
其中
机动 目录 上页 下页 返回 结束
其中
机动 目录 上页 下页 返回 结束
已知
其中
类似可得
机动 目录 上页 下页 返回 结束
利用已知函数的泰勒公式求函数的泰勒公式
P 145：1，4，5
三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
误差
M 为
在包含 0 , x 的某区间上的上界.
需解问题的类型:
1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;
2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;
3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
已知
例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过
解:
令 x = 1 , 得
由于
欲使
由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,
因此
的麦克劳林公式为
机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
本例
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则
各项舍入误差之和不超过
总误差为
这时得到的近似值不能保证误差不超过
因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 用近似公式
计算 cos x 的近似值,
使其精确到 , 试确定 x 的适用范围.
解:
近似公式的误差
令
解得
即当
时, 由给定的近似公式计算的结果
能准确到 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 利用泰勒公式求极限
例3. 求
解:
由于
用洛必塔法则不方便 !
用泰勒公式将分子展到
项,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
解
3. 利用泰勒公式证明不等式
例5. 证明
证:
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5
证


 – ,
则有
内容小结
1. 泰勒公式
其中余项
当
时为麦克劳林公式 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 常用函数的麦克劳林公式( P144 )
3. 泰勒公式的应用
(1) 近似计算
(3) 其他应用
求极限 , 证明不等式 等.
(2) 利用多项式逼近函数 ,
例如 目录 上页 下页 返回 结束
由题设对
证:
备用题 1.
有
且
机动 目录 上页 下页 返回 结束
下式减上式 , 得
令
机动 目录 上页 下页 返回 结束
两边同乘 n !
= 整数 +
假设 e 为有理数
( p , q 为正整数) ,
则当 时,
等式左边为整数;
矛盾 !
2. 证明 e 为无理数 .
证:
时,
当
故 e 为无理数 .
等式右边不可能为整数.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
Thank you
Add your text here and write down your opninonu add your text here