世界第一公式：麦克斯韦方程组.doc

世界第一公式：麦克斯韦方程组
世界第一公式：麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组，是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。从麦克斯韦方程组，可以推论出光波是磁场的两个东西，非常对称。
3电荷->电场，电流->磁场这一部分和下一部分中，我来简单讲解四个式子分别代表什么意思，而不涉及任何定量和具体的计算。

我们从两个电荷之间的库仑力讲起。库仑定律Coulomb's Law是电学中大家接触到的最早的定律，有如下形式：

其中Q是电荷，r是电荷之间的距离，r是表示方向的单位向量。像我之前说的，把其中一个电荷当作来源，然后刨去另一个电荷，就可以得到电场的表达式。

高中里应该还学过安培定律Ampere's Law，也就是电流产生磁场的定律。虽然没有学过具体表达式，但我们已经能看出它与库仑定律之间的区别。库仑定律描述了“两个”微小来源（电荷）之间的“力”，而安培定律是描述了“一个”来源（电流）产生的“场”。事实上，电磁学中也有磁场版本的库仑定律，描述了两个微小电流之间的力，叫做毕奥-萨伐尔定律Biot-Savart Law；反之，也有电场版本的安培定律，描述了一个电荷产生的磁场，叫做高斯定律Gauss's Law。这四个定律之间有如下关系：
　　　　　　　　　　　　电场　　　　　磁场
两个微小来源之间的力　库仑定律　毕奥-萨伐尔定律
单个来源产生的场　　　高斯定律　　　安培定律

数学上可以证明库仑定律（毕奥-萨伐尔定律）和高斯定律（安培定律）在静电学（静磁学）中是完全等价的，也就是说我们可以任意假设一个定律，从而推导出另一个定律。然而如果我们想从静止的静电学和静磁学推广到电动力学，前者是非常不便的而后者很却容易，所以尽管库仑定律在中学中
常常提到，麦克斯韦方程组中却没有它，有的是高斯定律和安培定律。这两个定律分别是麦克斯韦方程组里的(1)和(4)的第一项，即：

高斯定律（积分、微分形式）：

安培定律（积分、微分形式）：

我们继续推迟讲解数学关系，单看这几个式子本身，就能看到等式的左边有电场E（磁场B），而右边有电荷Q（电流I）或电荷密度ρ（电流密度J）。看，电荷产生电场，电流产生磁场！
4变化磁场->电场，变化磁场->电场然而这不是故事的全部，因为事实上电磁场是可以互相转化的。法拉第发现了电磁感应，也就是说变化的磁场是可以产生电场的，这就是法拉第定律Faraday's Law。类似地，麦克斯韦发现安培定律的描述并不完善，除了电流以外，变化的电场也可以产生磁场，这被称为安培-麦克斯韦定律Ampere-Maxwell Law。这两个定律分别是麦克斯韦方程组里的(2)和(4)的第二项，即：

法拉第定律（积分、微分形式）：

安培-麦克斯韦定律（积分、微分形式）：

同样地，等式的左边有电场E（磁场B），而右边有磁场B（电场E）的导数d/dt或偏导?/?t。看，变化磁场产生电场，变化电场产生磁场！

需要指出的是，我这样的说法其实是不准确的，因为并不是真的某一个场“产生”的另一个场。这两个定律只是描述了电场（磁场）和磁场（电场）的变化率之间的定量关系，而不是因果关系。

小结一下，我们已经搞清楚了麦克斯韦方程组里每一项的意思，基本就是指出了电磁场的来源和变化电磁场的定量关系。下一步便是往我们这些粗浅的理解中加入数学，具体看看这些方程到底说了什么。在这之前，我们必须花一点时间了解一下向量微积分的皮毛。
5向量积分
普通的单变量微积分基本可以理解为乘法的一种拓展。我们想计算一个矩形的面积，我们用长x乘宽y，即xy。如果宽不是一个定值而是根据长而变化的（也就是说宽是一个长的函数，即宽=y(x)），那么我们就需要积分，记为
“∫y(x)dx”。这样的想法也很容易推广到更高的维度，比如在一块体积V内，若电荷密度为ρ，那么这块体积内的总电荷就是Q=ρV；如果ρ在空间中每一点都不一样，是个关于坐标的函数ρ(x)，那么就要变成积分Q=∫∫∫ρ(x)dV（这里三个∫表示是一个三维的积分，很多时候也可以省略写为一个∫）。

在向量场中，这个事情比较麻烦。首先两个向量的乘积的定义稍显复杂，必须使用点乘dot product，即u·v，它暗示着两个向量之间的角度，也就是有多么平行。如果u和v完全平行，它们的点乘是一个正值；如果方向相反，则是一个负值；如果垂直，那么为0。另一方面，我们不一定要像上一个电荷的例子一样积上整个体积V，我们可以只