构造对偶式.docx

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构造对偶式的八种途径
在数学解题过程中，合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并原不等式成立。
，通过和式或积式进行倒序构造对偶式的方法。
例1。求和：s1C：2Cn3C34C4LnCn
解析：观察和式联想到
C：
C
r,o
k
*
n,nN
,故首先在和式右边添上一项
则S0C0
1cn
2C2
L
：c：
①
构造对偶式：
S
nC°
(n
1)Cn
(n
2)C2L
0C°
②
即②亦为：
S0
C
1c：
2Cn
L
nCnn
③
由①+③得：
nC°
nC：
L
nC「
：c：
••-2SnCn
ncn
L
n
nCn
1nC
nn
一o」
n(CnCn
LC；；1
C；)
0C0,2S
onn2n2n点评：
岂不妙哉!
利用现成的对偶式，使问题本身变得简单，便易，如此处理，可谓“胜似闲庭信步”例11正项等比数列｛an｝中，Tqa2a3Lan,Sa1a2a3Lan试用s,T表一-11.
示QLa1a21oan解析：传统解法都用a〔，q表示s,T及Q,然后通过a〔和q找到s,t,Q的等量关系，这种解法虽思路正确，但运算繁琐，加之在用等比数列求和公式时还要讨论q1和q1两种情形，如此解题会陷入漫漫无期的运算之中，很少有人能够到达终点。其实，观察和式子与积式特征不妨采取“本末倒置”构造倒序对偶序式一试。
由题意知：Ta1a2a3Lan
构造倒序对偶式:
anan1an2La1由①x②得：T2(aian)(a2ann21）L（ana〔）（a〔a”），即T（a〔a”）2再来看:
构造倒序对偶式:
即③+④得:
12Q(―a〔a〔a2ana〔
)an2
a1ana2an2即2QnyLana〔ana\由等比数列性质可知，右边的分母均为a1an，故2Q(aian)(a2an1)L(ana〔)
aian
2S
即2Q仝，..Q
aian
S
aian
2又a^anTn.-SS--Q~22n2Tn、,，差，积，商等运算产生定值，并借此构造出对偶式的方法。
x111例12已知函数f(x)——2。f()f()f()f(1)f(2)1x432f(3)f(4)，则，=解析：f(x)f(!)x发现定值：f(x)E,1那么Sf(-)4构造对偶式：S1(-)2
x
2x
x21
f(-)
x
11f(3)f(2)f(4)f(3)f(1)f(2)
f(4)f(2)f(1)f《)
由①+②得:
-,1,,1,,1,r
2S[f(—)f(4)][f(—)f(3)][f(—)f(2)]2f(1)432
r,1,,1,,1[f(2)fH)][f(3)f(、)][f(4)f(『234
.，•2S=7,即S—。
例13求证：135L心」=。
1 2462n2n1352n124