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构造对偶式的八种途径
在数学解题过程中，合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这 对对偶关系式进行适当的和，差，积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果。
对于表达式u(x) 土讥尤)，我们可构造+ — = 0 ②
x x x
由①-②X2得：f(x) + x-4f(-)-- = 0
X X
尤2 — 2x
3x
共辄对偶
共轴对偶是反映利用共轴根式或共轴复数来构造对偶式的方法。
例"已知zee,解方程：—3及=1 + 3,。
解析：由z・z — 3讫=1 + 3/
构造对偶式：z • z + 3讫=1 — 3Z ②
由①一②得z = —z — 2,代入②得(z + l)(z + l-3z) = 0,
故 z = -1 或 z = —1 + 31。
z —]
例8若ZGC,已知|z| = l且z"±l,证明： 一为纯虚数。
Z + 1
7 — 1 7 — 1 7 — 1 7 — 1
解：设M =—,则卜打^不，构造对偶式：N = e
则 M + N = \~ =——=0 (因为 Z • Z = |司2 = 1)
z + 1 z + 1
z — 1
又 0 (因为1。±1)
Z + 1
z — 1
■■-—为纯虚数。
Z + 1
例 9 已知：(2 > 0,b > 0 9 且= 求证：+1 + V2b +1 < 2\fl o
证明：设M=\：2a +1 + \；'2b +1，构造对偶式：N = h：2a +1 — \ 2b +1
■/ M 2 < M 2 + N2 = 4(a + b) + 4 = 8
二M < 2<2，即原不等式成立。
倒序对偶
倒序对偶是指针对式子的结构，通过和式或积式进行倒序构造对偶式的方法。
例1 0求和：S = 1C1 + 2C 2 + 3C 3 + 4C 4 + + nC
解析：观察和式联想到C： = C；-k ,0 < k < n, n e N*，故首先在和式右边添上一项0 • Co,
贝lj S = 0 - C0 + 1C + 2C 2 + + nCn
构造对偶式： S = nC 0 + (n — 1)C 1 + (n — 2)C 2 + 0C 0
n n n n
即②亦为： S = 0 - Co + 1Ci + 2C 2 + + nC
由①+③得：nC。+ nCi + + nCn—1 + nC
二 2S = nC0 + nC 1 + + nC〃-1 + nC〃 = n(C。+ Ci + + C〃-1 + C〃)
:.S = n • 2n
点评：利用现成的对偶式，使问题本身变得简单，便易，如此处理，可谓“胜似闲庭信步”， 岂不妙哉！
例11正项等比数列｛a ｝中，T = a • a • a • • a ,S = a + a + a + + a试用S, 丁表
n 1 2 3 n 1 2 3 n
示 Q = — + — + + — o、「.
a. a a … …
解析：传统解法都用a「q表示S,T及Q,然后通过匕和q找到S,T, Q的等量关系，这种解 法虽思路正确，但运算繁琐，加之在用等比数列求和公式时还要讨论q = 1和q丰1两种情形，如 此解题会陷入漫漫无期的运算之中，很少有人能够到