[初中几何中的最值问题]初中几何求最值的方法.docx

[初中几何中的最值问题]初中几何求最值的措施

　　“基本知识点”：两点之间线段最短和垂线段最短；两种“基本措施”：找对称点和平移；一种“基本思想”，[初中几何中的最值问题]初中几何求最值的措施

　　“基本知识点”：两点之间线段最短和垂线段最短；两种“基本措施”：找对称点和平移；一种“基本思想”，，以题变解题思维不变来应对这一类题型.
　　数学模型1：两点之间线段最短
　　① A、B在直线l的两侧，在直线l上求一点P，使PA+PB最小.
　　作法：连结AB交l于P，此点P即为所求.
　　② 图，A，B在直线l的同侧，在l上求作一点P，使PA+PB最小.
　　分析　要解决这个问题，，就可转化成①中的问题.
　　数学模型2：直线外一点和直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短.
　　3. 已知：直线l和直线l外一点P，在直线l上求一点A，　根据“垂线段最短”
　　实际运用：
　　一条笔直的公路同侧分别有A、B两个村庄，图：目前要在公路L上建一种汽车站C，使汽车站到A、B两村庄的距离之和最小，　运用数学模型1中的②
　　A，B两厂在一条河的同侧，拟在河边建一污水解决厂C，规定：A厂的污水经B厂连同B厂的一起排到河边污水解决厂C，要使铺设的管道的最短，　从A到B只要根据“线段最短”，连接AB即可；从B到直线，根据“垂线段最短”，作BC垂直于直线，即可找出污水解决厂C.
　　知识拓展：
　　1. 直线l和l相交于点P，在直线l和l的交角内有一点A，在直线l、l上分别求一点B、C，使线段AB、BC、CA的和最小.
　　分析　本题中的最小值问题，所涉及的途径是由三条线段连接而成，将三条线段转化到一条直线上，根据两点之间线段最短即可求.
　　作法：
　　① 取点A有关直线L1的对称点A，点A有关直线l的对称点A2.
　　② 连结AA分别交直线l、l于B、C两点.
　　③ 连结AB、AC，此时AB和BC、、. 直线l∥直线l，并且l和l之间的距离为d，点A和点B分别在直线l、l的两侧，在直线l、l上分别求一点M、N，使AM、MN、NB的和最小.
　　分析　本题是研究AM＋MN＋NB最短时的M、N的取法，而MN是定值，因此问题集中在研究AM＋、NB不能衔接，可将MN平移AA处，则AM＋NB可转化为AN＋BN，要AN＋BN使最短，显然，A、N、B三点要在同一条直线上.
　　作法：
　　① 将点A向下平移d个单位到A
　　② 连结AB交l于点N
　　③ 过N作NM⊥L，垂足为M
　　④ 连结AM，则线段AM、MN、、N即为所求.
　　3. 直线l的同侧有两点A、B，在直线l上求两点C、D，使得AC、CD、DB的和最小，且CD的长为定值a，点D在点C的右侧.
　　分析　本题是研究AC+CD+DB的和最小，CD是定值，将三条