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泰勒公式说明
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例2. 将
解:
（1）先求出
处的值
，当n=2m时
，当n=2m-1时
的幂级数。
展开成
分别算出在
（2）
写出麦克泰勒公式说明
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例2. 将
解:
（1）先求出
处的值
，当n=2m时
，当n=2m-1时
的幂级数。
展开成
分别算出在
（2）
写出麦克劳林级数：
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因为对于
（3）求级数的收敛半径
所以级数的收敛区间为
。
有，
或收敛区间余项
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（2）
利用麦克劳林公式，不难得出几个常用的初等函数
的幂级数展开式：
（3）
（1）
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（5）
（4）
（6）
三、幂级数在近似计算中的应用
在经济和工程技术领域中，常常涉及近似计算问题，例如在债券理论中，为了研究收益率对价格的影响，往往利用泰勒级数的前两项或前三项来近似计算，并根据近似计算公式研究债券的性质，为复杂的债券投资组合提供依据。
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由函数产生的泰勒级数是函数的精确表达式：
只要
来估计。
适当小，可用级数前几项部分和来作近似
计算，这种近似计算还是具有相当精确度的，而且
所产生的误差可以由余项
P(y)的二阶导数为
欧拉 目录 上页 下页 返回 结束
变化主要取决于收益率y,如果第t年所得的现金流为
我们来研究幂级数近似计算在固定收益证券中的
是各期现金流的现值和
CFt，它的现值为
应用．对于总期限为Ｔ的付息债券而言，其价格的
，那么债券的理论价格就
P(y)的二阶导数为
根据泰勒级数公式，债券价格P(y)的近似计算公式为
将一阶导数和二阶导数代入上式
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或者
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令
令
D是债券现金流的加权平均期限，被称为修正的久期，表示不同的现金流支付的时间加权平均，其中的权数是该时间所支付的现金流CFt的现值占整个现金流P的百分比，修正值为(1+y)-，反映了债券价格对收益率的弹性，是研究债券特性和进行债券组合的重要指标。
C被称为债券的凸性，债券凸性是时间乘积t× (t+1)的加权修正值，权数是现金流CFt的现值占整个现金流P的百分比，不同于久期的是，其修正值为(1+y)-2。
令
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因此，债券价格的近似公式简化为
例3 面值为100元的上海世博一期债券期限为7年，每年利息为4元，市场价格为105元．求债券的修正久期的凸性，，世博债券的价格变化。
设 债券的收益率为，则债券的价格等于现金流的总现值
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利用Mathematica软件，首先定义价格方程
所得现金流为(4+100)元。
解　每份债券前六年的现金流为4元，第七年还本付息
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由于收益率y介于0和1之间，所以y0=
当P0=105元时的y0值
求修正久期
。
求凸性
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，世博债券的价格变动幅度为
因此，债券的近似计算公式为
即债券的收益率上升100个基点（），%
有关幂级数的近似计算，也可以直接利用Mathematica软件中函数Series[ ]的功能，它将按照要求将目标函数展开为泰勒级数的前n次幂项，并用o[ ]n+1表示余项。
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解 （1）定义价格函数。
例4.　利用Mathematica软件的幂级数功能函数Series[ ]计算例3的问题。
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（2）利用Series[ ]求解债券价格的展开式。
即
P≈-(y- 9)+2 (y- 9)2
（3）计算债券的价格变动、久期和凸性。