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四十二章 几何综合型问题

7．(贵州六盘水▲ 〕
A．平面内任意三个点确定一个圆
B．五边形的内角和为540°
C．如果a>b,那么ac2>bc2
D．如果两条直线被第三条直线所截那么所截得的同位角相等
∴CB是△ABE外接圆的切线．………………………………………………………………5分
(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，－)．………………………………………………………8分
(4)解：设直线AB的解析式为y＝kx＋b．
将A(3，0)，B(1，4)代入，得解得
∴y＝－2x＋6．
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y＝3时，得x＝，∴F(，3)．…………9分
情况一：如图7，当0＜t≤时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G．
那么ON＝AD＝t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．
由△AHD∽△FHM，得．即．解得HK＝2t．
∴S阴＝S△MND－S△GNA－S△HAD＝×3×3－(3－t)2－t·2t＝－t2＋3t．…………11分
图7
A
E
D
C
B
y
x
O
F
M
L
H
G
K
N
D
图8
A
E
D
C
B
y
x
O
F
P
Q
V
I
R
情况二：如图8，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．由△IQA∽△IPF，得．即．解得IQ＝2(3－t)．
∴S阴＝S△IQA－S△VQA＝×(3－t)×2(3－t)－(3－t)2＝(3－t)2＝t2－3t＋．
综上所述：s＝……………………………………………………12分
【答案】(1) y＝－x2＋2x＋3， B(1，4)；
(2) 证明：如图，过点B作BM⊥y于点M，那么M(0，4)．
在Rt△AOE中，OA＝OE＝3，
图6
A
E
D
C
B
y
x
O
P3
1
2
3
P2
M
∴∠1＝∠2＝45°，AE＝＝3．
在Rt△EMB中，EM＝OM－OE＝1＝BM，
∴∠MEB＝∠MBE＝45°，BE＝＝．
∴∠BEA＝180°－∠1－∠MEB＝90°．
∴AB是△ABE外接圆的直径．………………………………………………………………3分
在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝＝tan∠CBE，
∴∠BAE＝∠CBE．
在Rt△ABE中，∠BAE＋∠3＝90°，∴∠CBE＋∠3＝90°．
∴∠CBA＝90°，即CB⊥AB．
∴CB是△ABE外接圆的切线．
(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，－)．
(4) s＝
【点评】此题以平面直角坐标系为背景，综合考察了二次函数、直线与圆的位置关系、锐角三角函数、三角形相似、勾股定理、待定系数法、分类讨论等知识，而且是中考的压轴题。知识点丰富全面，考查了学生综合运用知识、分类讨论思想来解决问题的能力。第1小题常规题，利用待定系数法求二次函数的解析式，难度较低；第2小题是利用勾股定理、锐角三角函数、90°的圆周角所对的弦是直径、等量代换等证明圆的切线，综合性较强，难度中等；第3小题，考察了分类讨论思想，在坐标轴上找点，构造寻找相似三角形，难度中等；第4小题，利用分类讨论思想、二次函数、和差法计算阴影局部面积，是压轴题的最后一题，将中下层面的学生拒之题外，难度较大.
23.〔河南，23，11分〕如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，点A在轴上，〔不与A，B重合〕，过点P作轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D
B
C
D
X
O
P
A
Y
〔1〕求及的值
〔2〕设点P的横坐标为
①用含的代数式表示线段PD的长，
并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PBD分成
两个三角形，是否存在适合的值，
使这两个三角形的面积之比为9:10？
假设存在，直接写出值；假设不存在，说明理由.

：〔1〕根据题意知，点A纵坐标为0，求出横坐标，点B纵坐标为3，也可求出横坐标，将A、B两点坐标代人求出，设直线与轴交于点，那么，∵
∥轴，∴.能求∠ACP的正弦；〔2〕①在Rt△PCD中，用m表示出PC，结合上面求出的值，表示出PD的长；②分别过点D,B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F，G，利用△PCD与△PCB公共边PC，分别用m表示出它们的高DF，BG，在Rt△PDF中，又
∴
当
当时，解得
解：〔1〕由，得到∴
由，得到∴
∵经过两点，