高中数学竞赛知识点整理.docx

高中数学竞赛知识点整理
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不等式
1．排序不等式（又称排序原理）
有两个有序数 a1
a2
an 及 b1c, c

2

a2

2ca

， 3 式相加证明

. （2）此题亦可连用两次基本不等式
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获证 .
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2. 剖析：明显不等式两边为正，且是指数式，故试试用商较法

.
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不等式对于

a,b, c 对称，不如

a

b c,则 a

b,b

c, a

c

R

，且

a , b
b c

，
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a 都大于等于 1.
c
评论：（ 1）证明对称不等式时，不如假设 n 个字母的大小次序，可方便解题 .
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（ 2）此题可作以下推行：若
ai
0(i
1,2,
, n), 则a1
a1 a2
a 2
an an
a1
a2
an
(a1a2 an )
n
.
（ 3）此题还可用其余方法得证。因
aa bb
a b ba ，同理 bb cc
b c c b , cc a a
c a a c ，
另 a abb c c
a ab bc c ， 4
式相乘即得证 .
（ 4）设 a
b
c
0, 则 lg a
lg b
lg c. 例 3 等价于 a lg a
b lg b
a lg b b lg a, 近似例 4 可
证 a lg a
blg b
c lg c
a lg b
b lg c
c lg a a lg c
b lg b
c lg ，一般地有排
序不等式（排序原理）：
设有两个有序数组
1
a
2
a
n
1
b
2
b
n ，则 a1b1 a2b2
anbn （顺
a
, b
序和）
a1b j1
a2 b j2
anb jn
（乱序和）
a1bn
a1bn 1
anb1 （逆序和