二元泰勒公式.ppt

关于二元泰勒公式
第一张，共十六张，创建于2022年，星期一
一、二元函数的泰勒公式
一元函数
的泰勒公式:
推广
多元函数泰勒公式
第二张，共十六张，创建于2022年，星期一
记号
(设下面涉及的偏导数连关于二元泰勒公式
第一张，共十六张，创建于2022年，星期一
一、二元函数的泰勒公式
一元函数
的泰勒公式:
推广
多元函数泰勒公式
第二张，共十六张，创建于2022年，星期一
记号
(设下面涉及的偏导数连续):
一般地,
表示
表示
第三张，共十六张，创建于2022年，星期一
定理1.
的某一邻域内有直
到 n + 1 阶连续偏导数 ,
为此邻域内任
一点,
则有
其中
①
②
① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式,
②称为其拉格
朗日型余项 .
第四张，共十六张，创建于2022年，星期一
证: 令
则
利用多元复合函数求导法则可得:
第五张，共十六张，创建于2022年，星期一
一般地,
由
的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
第六张，共十六张，创建于2022年，星期一
说明:
(1) 余项估计式.
因 f 的各 n+1 阶偏导数连续,
在某闭
邻域其绝对值必有上界 M ,
则有
第七张，共十六张，创建于2022年，星期一
(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:
(3) 若函数
在区域D 上的两个一阶偏导数
恒为零,
由中值公式可知在该区域上
定理1
第八张，共十六张，创建于2022年，星期一
例1. 求函数
解:
的三阶泰
勒公式.
因此,
第九张，共十六张，创建于2022年，星期一
其中
第十张，共十六张，创建于2022年，星期一
时, 具有极值
二、极值充分条件的证明
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
令
则: 1) 当
A < 0 时取极大值;
A > 0 时取极小值.
2) 当
3) 当
时, 没有极值.
时, 不能确定 , 需另行讨论.
若函数
定理2 (充分条件)
第十一张，共十六张，创建于2022年，星期一
证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意
则有
所以
第十二张，共十六张，创建于2022年，星期一
其中 ,  ,  是当h →0 , k →0 时的无穷小量 ,
于是
(1) 当 AC－B2 ＞0 时,
必有 A≠0 , 且 A 与C 同号,
可见 ,
从而△z＞0 ,
因此
第十三张，共十六张，创建于2022年，星期一
从而 △z＜0,
(2) 当 AC－B2 ＜0 时,
若A , C不全为零, 无妨设 A≠0,
则
时, 有
异号;
同号.
可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
第十四张，共十六张，创建于2022年，星期一
+
+
－
若 A＝C ＝0 ,
则必有 B≠0 ,
不妨设 B＞0 ,
此时
可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
(3) 当AC－B2 ＝0 时,
若 A≠0,
则
若 A＝0 ,
则 B＝0 ,
为零或非零
第十五张，共十六张，创建于2022年，星期一
感谢大家观看
第十六张，共十六张，创建于2022年，星期一