一、二元函数的泰勒公式
一元函数
的泰勒公式:
推广
多元函数泰勒公式
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记号
(设下面涉及的偏导数连续):
一般地,
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表示
表示
定理1.
的某一邻域内有直
到 n + 1 阶连续偏导数,
为此邻域内任
一点,
则有
其中
①
②
①称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式,
②称为其拉格
朗日型余项.
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证: 令
则
利用多元复合函数求导法则可得:
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一般地,
由
的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
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说明:
(1) 余项估计式.
因 f 的各 n+1 阶偏导数连续,
在某闭
邻域其绝对值必有上界 M ,
则有
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(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:
(3) 若函数
在区域D 上的两个一阶偏导数
恒为零,
由中值公式可知在该区域上
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例1. 求函数
解:
的三阶泰
勒公式.
因此,
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其中
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时, 具有极值
二、极值充分条件的证明
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
令
则: 1) 当
A < 0 时取极大值;
A > 0 时取极小值.
2) 当
3) 当
时, 没有极值.
时, 不能确定, 需另行讨论.
若函数
定理2 (充分条件)
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