二元泰勒公式.ppt

二元函数的泰勒公式
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二元函数的泰勒公式
一元函数
的泰勒公式:
推广
多元函数泰勒公式
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记号
(设下面涉及的偏导数连续):
一般地,
表示
表示
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定理1.
的某一邻域内有直
到 n + 1 阶连续偏导数,
为此邻域内任
一点,
则有
其中
①
②
①称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式,
②称为其拉格
朗日型余项.
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证: 令
则
利用多元复合函数求导法则可得:
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一般地,
由
的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
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(1) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:
(2) 若函数
在区域D 上的两个一阶偏导数
恒为零,
由中值公式可知在该区域上
说明:
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例1. 求函数
解:
的带Peano型
余项的四阶泰勒公式.
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例2. 求函数
解:
的三阶泰
勒公式.
因此,
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其中
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