动点轨迹.ppt

主讲人:朱俊杰
点的轨迹方程的求法
数学高考专题复习
圆锥曲线回顾
例1:已知ΔABC底边BC的长为2a(a>0),又知tgBtgC=t(t≠0).(a,t均为常数).求顶点A的轨迹.
B C
A
y
x
[思路分析]:首先建立适当的坐标系,设出动点A及定点B、C的坐标,如何将tgB、∠B是直线AB的倾斜角,∠C是直线AC的倾斜角的补角,因而tgB、,接下来的工作就是化简方程和判断轨迹是何种曲线,必要时可进行讨论.
本题答案:轨迹方程为 x2/a2 +y2/ta2 =1 (x≠+-a)
.当0<t<1或t>1时,轨迹为椭圆;当t =1时,轨迹为圆;当t<0时,轨迹为双曲线.
例2:已知直线L1⊥直线L2,垂足为M,点N ∈L2,(如图)以A,,且|AM|=√17,|AN|=3,|BN|=,求曲线段C的方程.
[思路分析]:坐标系的建立是本题的突破口,由于L1⊥L2,故可选择它们为坐标轴;也可以以线段MN的垂直平分线为y轴.(哪一种更好呢?)由题设可知曲线段C为抛物线的一部分,L1为准线,N为焦点,很显然选择标准方程y2=2px(p>0).下面的关键是求出p的值,而ΔAMN为锐角三角形及|BN|=6又起什么作用呢?请大家认真思考.
本题答案:y2 =8x (1≤x≤4,y>0)
x
y
B
A
M
N
L1
L2
例3:设AB是圆x2+y2=1的一条直径,以AB为直角边,B为直角顶点,逆时针方向作等腰直角三角形ABC,当AB转动时,求点C的轨迹.
[思路分析]本题中的动点C满足两个条件:BC⊥BA,|BC|=|BA|,无论用哪一个都不能直接得出点C的方程,,点C的运动依赖于点B的运动(A也是这样),因而可以用点C的坐标来表示点B的坐标,又点B在已知曲线上运动,其坐标满足曲线方程,,可以利用点与复数的对应关系,复数与向量的对应关系,来得出两点的坐标的关系.
本题答案:x2 +y2 =5
x
y
C
A
B
例4:抛物线y2 =4x的焦点为F,准线与 x轴交于A,P是抛物线上除去顶点外的动点,,使|FP| = |PQ|,OQ与AP交于M,求点M的轨迹.
[思路分析1]本题中的动点M是由两条动直线相交而得,而它们的运动又都依赖于动点P ,因此选择P的坐标为参数,写出两直线的方程,解方程组,得点M的轨迹的参数方程,再化为普通方程,从而得出M的轨迹.
P
F
Q
M
A
y
O
x
本题答案:y2 =8/3×(x +1/3).轨迹为以(-1/3,0)顶点,开口向右的抛物线(除去顶点).
[思路分析2]既然M的运动依赖于P的运动,可否用例3的方法,用M的坐标表示P的坐标,而P又在已知曲线上运动,?回到图中仔细分析,连接AQ会怎么样?点M与ΔAFQ是什么关系?
直接法: 根据动点所满足的几何条件,直接写出其坐标所满足的代数方