椭圆与双曲线的对偶性质总结.doc

------------------------------------------------------------------------------------------------ ——————————————————————————————————————椭圆与双曲线的对偶性质总结解圆锥曲线问题常用方法+ 椭圆与双曲线的经典结论+ 解圆锥曲线问题常用以下方法: 1 、定义法(1) 椭圆有两种定义。第一定义中, r1+r2=2a 。第二定义中, r1=ed1 r2=ed2 。(2 )双曲线有两种定义。 r1?r2?2a ,当 r1>r2 时,注意 r2的最小值为 c-a :第二定义中, r1=ed1 , r2=ed2 ,尤其应注意第二定义的应用,常常将半径与“点到准线距离”互相转化。(3 )抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2 、韦达定理法因直线的方程是一次的, 圆锥曲线的方程是二次的, 故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题, 最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题, 弦长问题, 可用韦达定理直接解决, 但应注意不要忽视判别式的作用。 3 、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题, 常用“点差法”, 即设弦的两个端点 A(x1,y1),B(x2,y2), 弦 AB 中点为 M(x0,y0) ,将点 A、------------------------------------------------------------------------------------------------ —————————————————————————————————————— B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有: xy0x2y2 ?k?0 。(1) 2?2?1(a?b?0) 与直线相交于 A、B ,设弦 AB 中点为 M(x0,y0) ,则有 0 22abab xy0x2y2 ?k?0 (2) 2?2?1(a?0,b?0) 与直线 l 相交于 A、B, 设弦 AB 中点为 M(x0,y0) 则有 0 22abab (3) y2=2px ( p>0 ) 与直线l 相交于A、B设弦AB 中点为 M(x0,y0), 则有 2y0k=2p, 即 y0k=p. 【典型例题】例1、(1) 抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,42) (2) 抛物线 C: y2=4 x 上一点 Q 到点 B(4,1) 与到焦点 F 的距离和最小, 分析:(1)A 在抛物线外,如图,连 PF ,则 PH?PFP 、F 三点共线时,距离和最小。(2)B 在抛物线内,如图,作 QR ⊥l 交于 R ,则当 B、Q、R最小。 1解:(1)(2,2) 连 PF,当A、P、F 三点共线时, AP?PH?AP?PF 最小, 此时 AF的方程为 y?y=22(x-1), 代入 y2=4x 得 P(2,22) , (注:另一交点为( ------------------------------------------------------------------------------------------------ ——————————————————————————————————————(2)( 42?0(x?1) 即 3?11,?2) , 它为直线 AF 与抛物线的另一交点, 舍去) 21,1 )4过Q作 QR ⊥l 交于 R ,当 B、Q、R 三点共线时, BQ?QF?BQ?Q R 最小,此时 Q 点的纵坐标为 1 ,代入 y2=4x 得 x=1 4,∴ Q(14,1) 点评: 这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。 x2y2 例2、F 是椭圆 4?3?1 的右焦点, A(1,1) 为椭圆内一定点,(1) ?PF 的最小值为(2) ?2PF 的最小值为分析: PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径 PF? 题。解:(1) 4-5 设另一焦点为 F? ,则 F?(-1,0) 连 AF?,PF? PA?PF??2a?PF??2a?(PF??)?2a?AF??4? 当P是 F?A 的延长线与椭圆的交点时, ?PF 取得最小值为 4-5 。(2)3 作出右准线 l ,作 PH ⊥l 交于 H ,因 a2=4 , b2=3 , c2=1 , a=2 , c=1 , e=12 ,∴ PF?1 2PH,