飞越北极数学建模.docx

《数学模型与数学软件综合训练》论文
训练题目：飞越北极
学生学号：07500125 姓名：郭艳
计通院信息与计算科学专业
指导教师：黄灿云（理学院）
2010年春季学期
目录
一前言 2
二飞越北极 3
1论文得出纬度与经度之间的函数关系，然后用积分方法求得球面距离，。 因此，通过对飞行航线和球体的分析可证明“飞越北极，可节省时间为4小时”的命题。
关键词： 数学模型；球面距离；时间
2问题重述与分析
2000年6月，扬子晚报发布消息："中美航线下月可飞越北极，北京至底特律可节省4小时"，摘要如 下：
7月1日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时 间，旅客可直接从休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计，如飞越北 极，底特律至北京的飞行时间可节省4个小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。
假设：飞机飞行高度约为10公里，飞行速度约为每小时980公里；从北京至底特律原来的航线飞经
以下10处:
A1 （北纬31度，东经122度）;
A3 （北纬
A5 （北纬
A7 （北纬
A8 （北纬
53度,
59度,
50度,
47度,
西经165度）;
西经140度）;
西经130度）;
西经122度）;
A2（北纬36度，东经140度）；
A4（北纬62度，西经150度）；
A6（北纬55度，西经135度）;
A8（北纬47度，西经125度）;
A10 （北纬42度,西经87度）。
请对”北京至底特律的飞行时间可节省4小时"从数学上作出一个合理 的解释，分两种情况讨论:
（1） 设地球是半径为6371千米的球体；
（2） 设地球是一旋转椭球体，赤道半径为6378千米，子午线短半轴为6357千米。
分析：根据飞行时间（T） = ?¥栏 ⑴,v是已知恒定的，所以T主要取决于S ,于是问题的关 飞仃速度（V）
键在于如何求得S。
飞机飞行的最优弧我们可以理解为就是两点之间的球面距离，所以原航线的路程就是每两个路经之地 的球面距离之和，新航线的路程就是北京与底特律的球面距离。
3假设与模型

不考虑地球的自传。
飞机每经相邻两地的航程，均以曲面上两点间最短距离进行计算。
飞机飞行中途不需降落加油，同时忽略升降时间。
开辟新航线后，飞机由北京经过北极上空直飞底特律。
在整个飞行途中飞机未遭遇到任何障碍物，各地的天气情况均良好且稳定，空气气流对飞机的阻力不变。
飞机飞行的高度和速度大小相对于地球表面始终不变。
飞机的航向是正对目的地的，重力对飞机的影响处处相同。
飞机是直上直下的，按两地间的最优弧飞行。

在以下计算中，北京是坐标用A°(40°, 116°),底特律的坐标用An(43°, 83°),飞机原航线途中符号约 定如下表所示。
表一
a 一纬度
B一经度
a 1 一圆O1所在平面的纬度，即ZOBO1
rl —O1纬度圆的半径
a2 一圆02所在平面的纬度，即ZOAO2
r2 —02纬度圆的半径
0—A、B两地的经度差，即ZBO1C
L —A、D对应的球面距离
Y—A、B对应的圆心角
V 一飞机的飞行速度
T 一飞机飞行L所需时间
t 一飞机飞越北极至底特律所需时间
t'一飞机按原来航线至底特律所需时间
At 一飞行节省时间
R 一飞机到地心的距离

模型I :地球是半径为6371千米的球体。具体模型如图1所示。
由已知条件可知，根据飞行时间（T）=决炊冬祟，V是已知恒定的，所以T主要取决于S , 飞仃速度（V）
于是问题的关键在于如何求得So
飞机飞行的最优弧我们可以理解为就是两点之间的球面距离，所以原航线的路程就是每两个路经之地 的球面距离之和，新航线的路程就是北京与底特律的球面距离。
当地球是一半径为6371 km的球体时，球面上任意两点之间的球面距离L可以根据公式L=Z状
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来计算，所以必须知道两点所对应的圆心角度数Y与飞机到地心的距离R。
（1） R的计算
飞机到地心的距离由地球半径与飞行高度两部组成，即R=6371+10 = 6381 （km）
（2） Y的计算
利用立体几何知识求Y
作点A到圆Oi上的射影点C在ZxBOiC中用余弦定理可得：| BC|之=『］+3-。
在ZkABC 中用勾股定理可得：| AB| 2 =『］+r%-2 n r2cos|3+Resina? - sinai) 2
在Z\AOB中用余弦定理可得：|AB，= 2R2(1-cosy