飞越北极 数学建模.docx

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学生学号:姓名:郭艳
计通院信息与计算科学专业
指导教师:黄灿云(理学院)
2010年春季学期
107500125郭艳数学模型与数学软件综合训练
目录
前言2
飞越北极3
1论文摘要3
2问题重述与分析3
3假设与模型4



4模型评价与推广7
总结8
参考文献9
附录9
前言
极地航路是指穿越极地区域的飞行,东航在中美之间的直飞,便选取北极上空的航路,常规的中美间跨太平洋上空的航路基本是通过一定弧度、围绕地球的同纬度飞行,而极地航路则是沿经线的竖直方向飞行,因此可以避免由此引起的中间经停。近几年中美之间航空客、货运市场的不断增大,穿越北极上空的极地航路成为解决这一问题最经济、最有效的方法。据东航有关负责人透露,东航不久将开通上海直飞纽约、芝加哥、西雅图的航班。
美西北航空公司负责人表示,“我们目前每周有四班到底特律的航班都是跨越极地飞行,使用的是波音747。如今这条航线确实特别具有市场竞争力,使得我们每班飞机的乘坐率上升了不少。”而且选择这条航线不仅能为乘客节约旅途时间,不用经受途中经停之苦,而且对普通乘客来说,从极地经过,还可以欣赏极地别具一格的景色,是趟不错的“极地之旅”。要完成极地航路飞行,航空公司必须具备相当的实力。因为极地航路具有一些常规航路所没有的困难:磁场强烈,对航空器通讯导航设施有一定影响;常年低温使上空大气层温度达到零下60—70摄氏度,比常规航路上的大气温度低10—20摄氏度,使用普通航空燃油也可能造成一定影响。极地磁场的变化、地面导航设备的稀少也会对通讯造成干扰
越北极开通北京—纽约—北京的往返直飞航班,在我国航空公司还是首次。20年前国航就开通了北京飞纽约的航班,1998年国航与美西北航实行代码共享后,航线由美西北航执行。从9月27日起,由国航继续飞这条航线。这对于国航连接北美、包括加拿大有关地区到中国北京的航路,为广大中外旅客提供方便快捷的空中通道,具有十分重要的意义。经北极航路直飞纽约,为旅客提供了多方面的便利。1981年1月洋经停旧金山到纽约航线,以及后来经停安克雷奇到纽约的航班,旅途都长达17个小时。此次国航将要开通的北极航线,北京—纽约,纽约至北京,单程仅需13小时,比过去减少了3个多小时的飞行时间。由于北京至纽约航线是直飞,免除了过去中途经停的诸多不便,减轻了旅客旅途的劳顿,给人以一登飞机,就将要到家的感觉。北极上空气流平缓,颠簸较少,也提高了旅客乘机的舒适度。另外,这条航线飞机较少,不存在其他航路空中通道拥挤的状况,同时也为航空公司节省了燃油,降低了飞行成本。
国航经由北极航路执行正式航班,在国内航空公司中还属首家。北纬78度以北为北极飞行区域,由于气候寒冷,过去曾被视为飞行禁区。随着科学技术的发展,现在飞越北极已不再危险,目前世界上有20多家航空公司经营着北极航线,每周有40有多个航班在北极上空穿梭。这条航路,多年来已经成为连接欧亚、美亚大陆的快捷空中通道。国航北极航路直飞纽约验证飞行的成功,表明国航有能力完成由北极航路直航纽约的飞行任务,展示了国航在飞行技术、运行管理、安全保障等方面的新水平,对国航成长和发展来说是一个重要的里程碑。
北京航空航天大学飞行力学专家方振平教授认为:从经济角度讲,因为成本的降低和航线的选择有直接关系,极地飞行缩短了航程,节约燃油费用和起降费用,大大提高了效益降低了成本。将来每位乘客的机票价都可能降下来,对航空公司来说,极地航线的开辟,将提高中国民航在国际上的价格竞争力。从安全角度讲,航程的缩短应该能提高安全系数,过去去美洋,一方面是远,另一方面气流也大,而极地飞行与之相比应该更安全,因为极地飞行能减少高空风的影响。从技术角度讲,极地飞行克服了北极强烈地磁影响,跨越了一个技术门槛,是中国民航史上的一个里程碑。最后还要指出,这条航线因为是直飞,不必转机,比过去方便了不少。应该说当极地飞行成为中国民航的普通航线后,中美之间有了一条既安全又便捷又经济的通道。
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二飞越北极
论文摘要
本文将“飞行时间节约4小时”的问题,在飞行速度恒定的条件下,转化为计算飞机航程的问题。通过采用计算机模型绘出的飞机飞行航线,建立了两个数学模型;并且通过对模型的分析,采用MATLAB编程计算球面距离。对于模型1,采用立体几何知识求球面距离的方法,,,。对于模型2,采用参数方程得出纬度与经度之间的函数关系,然后用积分方法求得球面距离,。因此,通过对飞行航线和球体的分析可证明“飞越北极,可节省时间为4小时”的命题。
关键词:
数学模型;球面距离;时间
问题重述与分析
2000年6月,扬子晚报发布消息:"中美航线下月可飞越北极,北京至底特律可节省4小时",摘要如下:
7月1日起,加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极,此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时间,旅客可直接从休斯敦,丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计,如飞越北极,底特律至北京的飞行时间可节省4个小时。由于不需中途降落加油,实际节省的时间不止此数。
假设:飞机飞行高度约为10公里,飞行速度约为每小时980公里;从北京至底特律原来的航线飞经
以下10处:
A1(北纬31度,东经122度);A2(北纬36度,东经140度);
A3(北纬53度,西经165度);A4(北纬62度,西经150度);
A5(北纬59度,西经140度);A6(北纬55度,西经135度);
A7(北纬50度,西经130度);A8(北纬47度,西经125度);
A8(北纬47度,西经122度);A10(北纬42度,西经87度)。
请对"北京至底特律的飞行时间可节省4小时"从数学上作出一个合理的解释,分两种情况讨论:
(1)设地球是半径为6371千米的球体;
(2)设地球是一旋转椭球体,赤道半径为6378千米,子午线短半轴为6357千米。
分析:
根据飞行时间(T)=
飞行路程(s)飞行速度(v)
V是已知恒定的,所以T主要取决于S,于是问题的关
键在于如何求得S。
飞机飞行的最优弧我们可以理解为就是两点之间的球面距离,所以原航线的路程就是每两个路经之地
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的球面距离之和,新航线的路程就是北京与底特律的球面距离。
假设与模型

不考虑地球的自传。
飞机每经相邻两地的航程,均以曲面上两点间最短距离进行计算。
飞机飞行中途不需降落加油,同时忽略升降时间。
开辟新航线后,飞机由北京经过北极上空直飞底特律。
在整个飞行途中飞机未遭遇到任何障碍物,各地的天气情况均良好且稳定,空气气流对飞机的阻力不变
飞机飞行的高度和速度大小相对于地球表面始终不变。
飞机的航向是正对目的地的,重力对飞机的影响处处相同。
飞机是直上直下的,按两地间的最优弧飞行。

在以下计算中,北京是坐标用A0(4Oo,n6o),底特律的坐标用A]](430,83。),飞机原航线途中符号约定如下表所示。
a—纬度
B—经度
a1—圆O1所在平面的纬度,即ZOBO1
r1—O1纬度圆的半径
a2—圆O2所在平面的纬度,即ZOAO2
r2—O2纬度圆的半径
e—A、B两地的经度差,即ZBO1C
L—A、D对应的球面距离
Y—A、B对应的圆心角
V—飞机的飞行速度
T—飞机飞行L所需时间
t—飞机飞越北极至底特律所需时间
t‘一飞机按原来航线至底特律所需时间
At—飞行节省时间
R—飞机到地心的距离
2
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模型I:地球是半径为6371千米的球体。具体模型如图1所示。
由已知条件可知,根据飞行时间(T)=
飞行路程(s)飞行速度(v)
V是已知恒定的,所以T主要取决于S,
2
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于是问题的关键在于如何求得S。
飞机飞行的最优弧我们可以理解为就是两点之间的球面距离,所以原航线的路程就是每两个路经之地的球面距离之和,新航线的路程就是北京与底特律的球面距离。
V
当地球是一半径为6371km的球体时,球面上任意两点之间的球面距离L可以根据公式L=兀R
180
来计算,所以必须知道两点所对应的圆心角度数Y与飞机到地心的距离R。
(1)R的计算
飞机到地心的距离由地球半径与飞行高度两部组成,即R=6371+10=6381(km)
(2)Y的计算
利用立体几何知识求Y
2
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2
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作点A到圆01上的射影点C在厶BO1C中用余弦定理可得:丨BCI2=r21+企-2r1r2cosO
在厶ABC中用勾股定理可得:丨ABI2=r2]+企-2r1r2cos®+R2(sina2-sina1)2在厶AOB中用余弦定理可得:|ABb=2R2(1-cosy)
其中r1=Rcosa1,r2=Rcosa2,最后求得:Y=arccos(sina1sina2+cosa1cosa2cos9)
兀VR
180V
T的计算
(1)式
arccos(sinasina+cosacosacos9)180V121
(4)t与t‘的计算
2
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3136536259555047
4742
a=[**********
i
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图2模型?-椭球•体
[
把已知条件代入(1)中,可得:
兀*6381
t=arccos(+)
180x980
(h)
用MATLAB语言编程得到了t‘=(h)〈见附录1〉(5)可节省的时间计算
At=tz-t=(h)
模型II:地球是一旋转椭球体,赤道半径为6378千米,子午线短半轴为6357千米。具体模型如图2所示。解法I:
当地球是一旋转椭球体时,设球心O到球面上任意一点的长度为P,则这一点的参数方程可表示为:x=pcosasinP
Cx2y2z2
<y=pcosaxosp与椭球体方程一+一^―=1联立得:
a2a2b2
z=psina
cos2asm2a4
P2+—=1(a=6388,b=6367)
(a2b2丿
设A1、A2的坐标为(x1,y1,z1)、(x2,y2,z2),记过A1、A2,O的平面方程为:Ax+By+z=0(2)
将A1、A2的坐标代入(2)式得:
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.zy-zy
A=21^-2
xy-xy
1221
zx-zx
B=21-^2
yx-yx
1221
利用MATLAB软件计算得:Ai,Bi(见附录)。
x=pcosasinR
y=pcosacosP
由曲线方程L:+BcosacosB=—sina,
z=psina
Ax+By=z
利用MATLAB软件进一步计算得a与B的关系,所以L的长度为:
L=Ja2斗x2+y‘2+z'2da
a1
即可节省时间为:At=(L-L1)/V
通过计算机模拟,可以求出At=〈见附录2、3〉。同时,根据各所经的地点的空间坐标绘出飞机航线。〈见附录4〉
模型评价与推广
上述模型的建立与求解依据立体几何、参数方程和定积分的原理和方法,MATLAB算法科学,符合实际,结果精确合理,模型的参数作适当的修改后,可用于航空控制系统。模型1中因地球是一球体,所以优点显而易见,计算步骤少,方法简单。相比之下,模型2的计算过程就繁琐复杂得多了,但模型2却比模型1更切合实际。由于在模型1、模型2中,均不考虑地球自转等多种因素对飞机的影响,所以结果会产生一定误差,建模中引进了参数方程的定积分求解比较精确地求出了时间T。
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总结
从7月3号开始,我全身心地投入学习、备战数学模型与数学软件综合训练。学习的地点主要是在B馆机房中,整个过程下来,我最大的几点体会:合作意识,相互协作,互补不足;友情是良好合作的催化剂;学习的能力,个人的成长;合理的时间安排;正确的论文格式;算法的设计。
我的题目是:飞越北极。在前期的准备中,我一头扎进了图书馆,一连看了好几本关于数学建模的书,通过网络,从互联网上获得了很多很多优秀的数学模型。短短两周里,我的学习态度有了很大的转变,初中过后,很少这样有激情地学过东西,这是第一次。我从理论数学看到应用数学,从优化问题看到模糊理论,更在老师,同学的帮助下,看懂了那篇matlab的程序,终于明白了模拟飞越北极节省时间的核心思想。
数学建模是把现实世界中的实际问题加以提炼,抽象为数学模型,求出模型的解,,它是一门将数学综合应用到实际中解决实际问题的学科。,作出一些必要的简化和假设。运后适当的数学工具得到一个数学结构、它或者能解释特定现象的现实状态,或者能预测到对象的未来状况,或者能提供处理对象的最优决策或控制。现实生活中处处都有数学,处处都存在着数模的思想,关键是我们缺乏一双发现数学知识的眼睛,缺乏实践操作的动手能力。数学建模课程虽开设的时间较少,然而其主要思想都已通过王教授那生动的讲述深入我的脑海,加上二次的亲自动手建模,那种用数学的眼光看待问题,分析问题、提出问题、查找资料和自学等各方面的能力都有了长足的提高。
通过这次有意义建模活动,使我对学习,创新和研究有了新的理解和认识。这是我第一次感受到数学的无处不在,无所不能。我觉得数学建模能为学生提供自主学习、自主探索、自主提出问题、自主解决问题的机会,培养学生的数学观念、科学态度和合作精神,激发学生的学习兴趣,培养学生认真求实、崇尚真理、追求完美、讲究效益、联系实际的学习态度和学习习惯。它能提高学生应用所学的数学知识解决实际问题的能力,从过去强调数学知识的“有用、可用”,到使学生所学知识的“想用、能用和会用”,让学生更多自主的实践,把学习知识、应用知识、探索发现、使用计算机、培养良好的科学态度与思维品质更好地结合起来,使学生在问题解决的过程中得到学数学、用数学的实际体验,加深对数学的理解。最大的感悟就是,当时的学习不再是被动了,不再是为了应付那无聊的考试了,我是为了解决问题而学习的(而且是自己非常想弄清楚的问题)。在我看来,这才叫真正的学习。
“一次建模,终生受益”。我衷心感谢数学建模课程,更由衷感谢老师的谆谆教导。
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