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关于《排列与组合》教学的两点见解
韩松峰 中学课本中关于排列与组合的内容虽然不多,但处理这类问题的思考和解答方式独特,抽象概括程度高而结果又不易验算,因此一向认为这一单元是中学数学教学中较难学好的部分。为着突破这一难关,笔者进行了关于《排列与组合》教学的两点见解
韩松峰 中学课本中关于排列与组合的内容虽然不多,但处理这类问题的思考和解答方式独特,抽象概括程度高而结果又不易验算,因此一向认为这一单元是中学数学教学中较难学好的部分。为着突破这一难关,笔者进行了一些尝试与探索,形成以下两点见解。今不揣浅陋,披露于此,权作引玉之砖。
一、要切实加强两个基本原理的教学
加法原理与乘法原理作为《排列与组合》单元中的基本原理,不仅起着理论上的奠基作用,而且作为一种解题方法,它还贯穿于整节内容的始终。因此,它理应成为我们重点把握的教学内容。然而,由于两个基本原理内容不多,“教参”中所分配的课时较少(约两课时),因而容易将此关键内容一带而过,而把主要精力和大量时间花在“排列”与“组合”概念以及排列数与组合数公式的记忆与应用之上。孰不知,“排列”问题与“组合”问题只不过是利用两个基本原理来解决的两个特殊的计数问题,而大量的问题(包括现实问题和有关习题以及近几年来的高考题)并不单纯是教材中所定义的“排列”、“组合”问题。即便是教材中所定义的“排列”、“组合”问题,利用其计算公式也只不过是减少了计算步骤和可以利用符号“”表示结果而减少了一点计算量而已。那么,如何切实做到加强两个基本原理的教学呢?我认为应从以下三个方面入手。
。首先,应通过对一系列实际问题的分析讲解后,让学生先用自己的语言归纳概括出这两个基本原理,然后再与课本相对照,进一步完善和精练语句。由此调动学生的自主探索精神,培养其抽象概括能力。其次,要讲清“这两个原理的正确性由什么来保证”的问题,使学生形成或强化“数学来源于实践又服务于实践”的辩证唯物主义观点。
。要用对比的手法分清两个基本原理的条件和结论,比较出其异同。要让学生弄懂弄通什么叫做“完成了一件事”、什么叫“分步”、“分类”以及什么情况下要分步、要分类等问题,为正确应用两个基本原理打下坚实的基础。
。除了认真完成课本上的例子和练习外,还应适当补充有关“可重复”与“不允许重复”以及“步中有类”、“类中有步”这些交叉型的问题。
【例1】今有壹角币一张、贰角币一张、伍角币一张、壹圆币两张、伍圆币两张,用这些人民币可以组成多少种不同数额的款项?
解法1:分五个步骤:(1)取“壹角”币,有两种方法,即“取一张”或“不取”;(2)取“贰角”币,同样有两种方法;(3)取“伍角”币,同样有两种方法;(4)取“壹圆”币,有三种方法,即“取一张”、“取两张”或“不取”;(5)取“伍圆”币,同样有三种方法。故由乘法原理知共有2×2×2×3×3种取法。而由“壹角”、“贰角”、“伍角”、“壹圆”、“伍圆”这些币值的特殊性,可知每一种“取法”对应着一款“数额”,且不同的“取法”对应着不同的“数额”。再注意到若都是“不取”,则“数额”为0,这不符合题意。故所求答案应为2×2×2×3×3-1=71(种)。
解法2:分四类:(1)只有1张“壹圆”和1张“伍圆”的参与组额,有种不同数额的