兰彻斯特模型.docx

§ 兰彻斯特作战模型
［学习目的］
能建立兰彻思特作战模型问题的数学模型；
会求解兰彻思特作战模型问题的数学模型；
能用兰彻思特作战模型问题的数学模型解决一些实际问题。
问题： 两军对垒，现甲军有 m 个士兵，乙军有 n 00
(9)式在x-y平面上定义了一族抛物线，：y(t) *
1 b
如果M > 0,则正规部队胜，因为当y(t)减小到£ M c， 部队x已经被消灭。同样，如M〈 0,则游击队胜。
三、 游击战模型：
若甲乙双方都是游击部队，则双方都隐蔽在对方不易 发现的区域内活动。由混合战部分的分析，得游击战数学 模型
dx
= -cxy + f (t) dt dy
=-dxy + g (t) I dt
其中f(t)和g(t)分别是甲军和乙军的增援率，常数c是乙军的战斗有效系数，常数d是 甲军的战斗有效系数。
如果甲乙双方增援率均为零，则游击战数学模型为
dx
~r = -cxy
dt
< ~~ = -dxy (11)
dt
x(0) = x , y (0) = y
00
(11)的解为 cy - dx = cy - dx = m (12)
00
y(t
)
(12)式在x-y平面上定义了一族直线。如图 ：如果m > 0,则乙方胜；如果m < 0,则甲方胜；如m = 0则双方战平。
几点说明：
(1)在模型(3)中，如果a、b、f(t)和 g(t)已知，贝y可用显式求解。但在 模型(7)中,因方程组是非线的,求 解困难，可利用计算机求解。
图 线性解
(2)事前确定战斗有效系数a、b、c和d的数值通常是不可能的，但是如果对已有 的战役资料来确定a和b (或者c和d)的适当系数值，那么对于其他类似于同样条件下进 行的战斗，a和b (或c和d)这些系数就可以认为是已知的了。
因此，在以上意义下，兰彻斯特作战模型仍然具有普遍意义。J・H・ Enge l将第二次 世界大战时美国和日本为争夺硫磺岛所进行的战斗资料进行分析，发现与兰彻斯特作战数 学模型非常吻合，这就说明了兰彻斯特作战数学模型是能够用来描述实际战争的。
下面介绍二战时期著名的硫磺岛战役：
四、硫磺岛战役
硫磺岛位于东京以南1062km，，是日军的重要军事基地。美军想 要夺取硫磺岛作为轰炸日本本土时的轰炸机基地，而日本需要硫磺岛作为战斗机基地，以 便攻击美国的轰炸机。美军从1945年2月19日开始进攻，激烈的战斗持续了一个多月， 双方伤亡十分惨重，日方守军21500人全部阵亡或被俘，美军投入兵力73000人，伤亡 20265人，战争进行到28天时美军宣布占领该岛，实际战斗到36天才停止。美军有按天 统计的战斗减员和增援情况的战地记录，日军没有后援，战地记录全部遗失。
用x(t)和y(t)表示美军和日军在第七天的人数，在正规战模型(1)中加上初始条件,
dx dt dy dt
=-ay + f (t)
=-bx
(13)
x(0) = 0, y (0) = 21,500
54000 ,0 < t < 1
(14)
6000 ,2 < t < 3
13000 ,5 < t < 6
0, 其它
由增援率和每天的伤亡人数可算出x(