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«数值计算方法»实验报告
标题：积分方程的数值积分计算
：
数值积分最突出的优点是它可以计算无法解析求解的积分问题 。根据节点的选择
方法可将数值积分 3 k = 1
h
f f ) f 4 f + 2 ... f 4 + 2 f 4 + f + ( + h ) f S + , ( + =
2 1 2 2 2 3 2 1 3 0 M M − M −
h h h 4 M 2 M − 1
)()() ) x f ( x ) f ( + b f )) ( a f ) ( + ( h ) f S + , ( = ∑ 1 2 k ∑ 2 k −
3 3 3 k = 1 k = 1
③龙贝格积分法及误差分析：
龙贝格积分法是利用理查森外推法来提高精度的，下面给出一般公式：
)(1 ) 1) 1, ( 1) K , ( R J 4 K − R K J − − −
) R K J , ( = 其中 K J ≥
1 4 K −
TJ ) ( R J ,0) ( = ,为梯形公式； SJ ) ( R J ,1) ( = ,为辛普生公式； B J ) ( R J ,2) ( = ，为
布尔公式。
④自适应积分法及误差分析：
自适应积分法节点非等间距，它能在函数值变化较大的区间采用较小步长进行计
算，其基础是辛普生公式。计算的关键是结果能否通过精度测试。
⑤高斯—勒让德积分法及误差分析：
高斯—勒让德积分法是一种非常高效的计算方法 ，其理论依据是函数基于勒让德
多项式的表示，一般 N 点高斯—勒让德公式对次数小于 1 2 N − 的多项式是精确
N
的，公式为： 其中 定义在 区间上
N k ) x N( f k w f G N ) ( = ∑ , , x 1,1] [ −
k = 1
对于非规范情形可根据高斯 —勒让德变换进行计算 ：设 x 定义在 ] , [ a b 上，做变换
a − b b a +
t + x = ，则积分公式为：
2 2«数值计算方法»实验报告
− + a b b a b − a b 1 a − b b a + N
) t ( + f w ) dt t = ( f + x dx f ) ( =
∫ ∫ a − 1