数列通项公式的求解方法归纳.docx

数列通项公式的解法
数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而 作为给出数列的一种形式一一通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公 式的常用方法。小结：除了熟悉以上常见求法以外，对具“｝的通项公式。
2、已知数列^｝满足5=1,且勺+]=3勺+2,求你.
2、递推式为g=pg+严(p、q为常数)时，可同除，得殆=上耳+ 1,令bn="从而化归为q q q q
《s + q 5、q为常数)型
^｝满足®=1,①=3"+ 2。心血> 2).求心.
3、形如如=pan + an + h (p 工 IQ a 工 0)
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令％l+x(〃 + l) + y =劝+刃，与已知递推式比
较，解出乂』，从而转化为｛ +xn + y是公比为〃的等比数列。
例 11:设数列｛an｝： a) =4,an = 3「+ 2n -1,(n > 2) > 求心.
变式:已知数列｛〃”｝中，5空、点52也〃〃在直线y=x上，其中n=l,2,3-.
(I)令久=%-5 -3,求证数列您淀等比数列； (II)求数列倡的通项；
4、 形如 an+i = pa^ + an2 +bn + c 1、0, a H 0)
解法：这种类型一般利用待定系数法构适等比数列，即令勺+i +x(/? + 1)2 +y(n + 1) + C = p(an +xiV + yn + c)与已 知递推式比较，解出x,y ,｛an +劝2 + yn + C)是公比为p的等比数列。
例 12：设数列｝： q = 4,an = 3a“_] + 2皿一l,(n>2),求 a.
递推公式为％2 = U + (其中p, q均为常数)。
先把原递推公式转化为。“+2 — $""+1 =""”+1 — so”)
s + t = p
其中s, t满足f
st = -q
例13:已物故列｛o片｝中* 4 右+£ = " %_[ +二% *求。叶
变式：
1已知数列 ｛%｝满足q =1心=3,©+2 =3色+]—2"”(料u
(I)证明：数列｛+]_§｝是等比数列：(II)求数列｛气｝的通项公式：
dll)若数列他｝满足4人〃4彼“…4如“ 二(an +1)如(neN"),证明｛bj是等差数列.
.〃[I *炎=2,"心=亍％1+：，七・求％
3已知数列 ｛cij中Sn是其前门项和并且=4a「+ 2(n = 1,2, ),q = 1,
⑴设数列仇=%]—2勺0 = 12......)•求证：数列｛乞｝是等比数列：
⑵设数列5=凯，(〃 =12......)，求证：数列亿｝是等差数列：⑶求数列^｝的通项公式及前〃项和。
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.八:特征根法。
1、 设已知数列他｝的项满足 二工⑺=can + ^其中cH0,cHl,求这个数列的通项公式。作出一个方程x = cx + x0 =a｝时,5为常数列，即勺二5;当无工5时,二仇+如，其中｛〃”｝是以0为公比的等比数列，即bn =业广叫=ax-xQ.
对于由递推公式ait+2 = p&｝ + q牛 =a,a2 = p给出的数列方程F -/x-g = 0，叫做数列
^｝的特征方程。若兀，兀是特征方程的两个根，当州工心时，数列｛〃”｝的通项为
其中A, B由& =a,g = 0决定(即把①-，“，和”i，2,代入=Ax'；~｝ + Bx\得到关于A、B的方程组)；当小=心 时，数列^｝的通项为"”=(A + B〃)x「，其中A, B由67, =a,a2=j3决定(即把ai,a2,xi,x2和“ =1,2,代入气=(A + Bn)x〃~[,得到关于A、B的方程组)。
例 14： (1)已知数列｛〃”｝满足 q =气a2 =〃 , 3%2 — 5""+i +2“” = 0(/z > 0,/? e AA).求数列｛〃“｝的通项公式。
♦九：不动点法，形如％ =竺口
S +/?
解法：如果数列｛暂｝满足下列条件：己知①的值且对于zzeN,都有勺出二户乩+ ° （其中p、，ran + h
且/必工甲』工0,6工一 2）,那么，可作特征方程兀=竺 ，当特征方程有且仅有一根心时，则 ，是等差
r rx + h
数列;当特征方程有两个相异的根坷、山时，贝u ）也二1 （是等比数列。 .
例15：已知数列｛“”
｝满足性质：对于=工一4且5 =3,求｛｝的通项公式.
2“” + 3
变式:数列｛〃” ｝满足 4 = 1 且 8«„+1«„ - 16an+l + 2a +5 = 0（n > 1）.记仇=——（n > 1）.
n “ 2
（【）