《定积分计算》.ppt

思考：
整理课件
第二节　定积分基本积分法
换元法
分部积分法
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牛顿－莱布尼兹公式：
其中
【例1 】
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【例2 】
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1．定积分的换元积分法
设f (x)思考：
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第二节　定积分基本积分法
换元法
分部积分法
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牛顿－莱布尼兹公式：
其中
【例1 】
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【例2 】
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1．定积分的换元积分法
设f (x) 在[a, b]上连续，若　　　 满足：
(1)
(2) 在　　 (或　　 )上，　　连续且
则
2．定积分的分部积分法
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【例3 】
【解】令 x = 2sec t ,
问题：
原式＝　　　　　，可以吗？
x = 2
t =
t = 0;
x = 4
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注：
定积分换元必须换限，而不必回代．
(1) 不定积分换元必须回代原变量；
(2) 变换　　　　须满足条件．
例
若作倒代换　　　，则
所以，原式 = 0
×
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【例4】 奇偶函数在对称区间上的积分性质
(1)若f (x)为偶函数 , 则
设f (x) 在[－a, a]上连续
(2)若f (x)为奇函数 , 则
【证明 】
令 x =－t，则
一般结果
(1)若f (－x) = f (x) , 则
(2)若f (－x) =－ f (x) , 则
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【例5 】
奇函数
偶函数
单位圆的面积
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【例6 】周期函数的积分性质
若连续函数f (x) 以 T 为周期，则　　　，有
结论说明：周期为T的连续函数在任一长度为T的
区间上的积分值都相等，与积分区间的起讫点无关．
T
O
2T
a
－T
a+T
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【证明 】
只需证
即
令 x = u + T，则
另证：设
只需证
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注：
若连续函数f (x) 以 T 为周期，则有
(n 为自然数)
例
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【例7 】f (x)在[0, 1]上连续，则
【证明 】
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例如：
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【例8 】计算　　　　　　　　( n 为非负整数)
【解】
时
n 为偶数
n 为奇数
0
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n 为偶数
n 为奇数
例如：
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【例9 】已知 f (0) = 1, f (2) = 3,　　　　 , 求
【解】
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【例10 】
dv
u
u
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注：
积不出来
f (x)连续
f (x)可积
f (x)可积说明 f (x) 的原函数存在．
积不出来说明 f (x) 的原函数不能用初等函数表达．
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第七章　定积分应用
　　　　与广义积分
定积分应用
广义积分
几何应用，经济应用
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设f (x) 在[a, b] 上连续, 且
整体面积A
近似代替
求和
取极限
简化步骤：
任取
面积元素
回顾：
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U具有可加性(即整体量＝局部量之和)，且
(1) 分布在[a, b]上；
(2) 　　　　　　　 ， U在[x, x + dx]上的局部量
则
积分元素
说明：
中，f (x)dx必须是　 的线性主部，
即要
定积分的元素法(微元法)
此时实际上f (x)d x = d U
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第一节　几何应用
平面图形的面积
曲线的弧长
空间区域的体积
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一、平面图形的面积
1．直角坐标系下
O
x
y
a
b
A
x
x+dx
dA
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【例1 】计算由　　　与 y = x + 4 所围成的图形面积．
【解】
y = x + 4
交点(－2, 2), (4, 8)
问题
是否要讨论f (x)， g (x)的
正负性？
y = f (x)
y = g (x)
A
b
a
－2
4
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【例2 】求在区间上曲线 y = ln x, x 轴及两直线
所围成的平面区域的面积．
【解 】
1
2
x
y
0
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