常微分方程讲义(八)
线性微分方程组的解法:
一些关于高等代数的预备知识
矩阵:行列
求矩阵的逆矩阵:
例:已知,求?
法1,伴随矩阵法(只用行变换)
法2,代数余子式法()
例:求的逆矩阵
把高阶微分方程化成微分方程组
已知,
令,同时令
则有:
则有,
或者可简写为。
定理:的解为,其中积分下限为任取。
一阶常系数线性微分方程组的求解————
解题三部曲:
第一步:求“齐次”的通解
的通解是
第二步:求“非齐次”的特解
的特解是
第三步:相加,得到“非齐次”的通解
的通解是
三部曲之一:求“齐次”的通解
的通解是
用特征方程
第一种情况:特征方程有相异实根
例:
第二种情况:特征方程有相同实根
例:
例:求初值问题,的解,其中
第三种情况:特征方程有相异复根
例:
第四种情况:特征方程有相同复根(可参照“相同实根”的处理方法,原理一样但计算相对复杂,不作要求)
三部曲之二:求“非齐次”的特解
的特解是
三部曲之三:相加,得到“非齐次”的通解
的通解是
例:已知线性齐次微分方程组的通解是,试求的通解,其中。
例:求线性非齐次微分方程的通解?
例:求微分方程组的通解。
例:求线性非齐次微分方程的通解
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