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落霞与孤鹜齐飞
篇一：落霞与孤鹜齐飞,秋水共长天一色扩写
夕阳西下，万籁俱静，天水一色，漂亮的白云被马上落山的夕阳衬托的非常漂亮，天涯有一只赶忙赶路的鸟儿，竭力的煽动者翅膀，形单影只的飞行轨迹，不免让人心生少许孤独，或色”, 这一句素称千古绝唱. 青天碧水，天水相接，上下浑然一色; 彩霞自上而下，孤鹜自下而上，相映增辉，构成一幅颜色明媚而又上下浑成的绝妙好图. ，远近、上下、立体式地呈现出一幅深秋江天图；它寓情于景，使整题变得意境深远.
题：已知函数f(x)?a(1?2x?1)，a为常数且a?0. 2
1对称； 2(1)证明：函数f(x)的图像关于直线x?
(2)若x0满意f(f(x0))?x0，但f(x0)?x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点，假如 f(x)有两个二阶周期点x1,x2，试确定a的取值范围；
(3)对于（2）中的x1,x2和a，设x3为函数f(f(x))的最大值点，A(x1,f(f(x1)))，B(x2,f(f(x2)))，C(x3,0).记?ABC的面积为S(a)，争论S(a)的单调性.
此题的点睛之笔在于函数f(x)的构造和问题（2）的设置. 所构造的函数f(x)?a(1?2x?1)，(a为常数且a?0)并不算简单，为最简洁的线性函数，但由于字2
母系数a和肯定值的参加，让数学对象变得不那么单一，因此需要照看的面就大了，弄得不好就会顾此失彼. 问题情景“f(f(x0))?x0，但f(x0)?x0”涉及到函数迭代和不动点这些一般高中学生不太常见的数学概念，（2）.


1. 解题思路探析
由于处于复合函数f(f(x))中的内层f(x)，它既是一个函数值又是一个自变量，这种
1?2ax,x???(x)??知，为得到f(x)的取值，需1?2a(1?x),x???2
考虑x与11的大小，另一方面为得到f(f(x))，又必需比拟f(x)，对a和22
x逐级争论是不行避开的.
首先，留意到f(x)?a(1?2x?1)?a，x?R，从而f(x)max?a；另一方面由2
1?2ax,x??11?2f(x)??知，当a?时，f(x)?a?，从而f(f(x))?2af(x).因22?2a(1?x),x?1
??2
此，当x?12时，由f(f(x))?2af(x)?4ax?x，得x?0（满意f(0)?0）或x有无2
14a2
2数个值与题意不符；当x?时，由f(f(x))?2af(x)?4a(1?x)?x，得x?，224a?1
1114a21x?a??由于当a?时，x?，与冲突. 故时，22224a?121f(x)没有两个二阶周期点，所以肯定有a?. 2