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简单三角恒等变换
知识回忆:
由公式:
得:
〔降幂公式〕
〔升幂公式〕
学习了和差角公式、倍角公式后,我们就有了进展三角变换的新工具,从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富,这为提高我们的推理论证能力、运算求解能力提供了新的简单三角恒等变换
知识回忆:
由公式:
得:
〔降幂公式〕
〔升幂公式〕
学习了和差角公式、倍角公式后,我们就有了进展三角变换的新工具,从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富,这为提高我们的推理论证能力、运算求解能力提供了新的平台.
本节课,我们主要在已有的十一个公式的根底上,学习三角变换的内容、思路和方法,并归纳三角变换的特点与方法、技巧.
[典例分析,性质应用]
这样我们就得到了一组很有用的公式,叫做半角
公式〔虽然教材上不要求记忆,但是教师还是建
议大家熟记为好!〕
例2求证:
这样,半角公式又进一步得到完善和补充:
〔后两个不用判断符号,更加好用〕
例3化简以下各式:
这样我们又得到了一组公式,叫做万能公式:
练习:
*
结论:将同角的弦函数的和差化为“一个角〞的“一个名〞的弦函数.
思考:对下面等式进展角、名、构造分析,并和已有的知识做联想,你有什么体会,会有什么解题策略与方法?
*
感受三角变换的魅力
变形的目标:化成一角一函数的构造
变形的策略:引进一个“辅助角〞
a
b
辅助角公式
总结提升
形如的式子可化为:
辅助角公式
注意:
〔1〕式子左侧的正弦与余弦必须是同角
(2)式子右侧着重记
〔3〕括号里x的系数尽可能为正
练习
分析:利用三角恒等变换,先把函数式化简,再求相应的值.
*
变式练习:
和递增区间.
例4
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积S最大,可分二步进展.
①找出S与之间的函数关系;
②由得出的函数关系,求S的最大值.
通过三角变换把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如通过三角变换把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(+)的函数,从而使问题得到简化
*
实践体会三角变换的魅力
变式练习:
练习
归纳:〔收缩变换〕
思考:
:
问1:这两个式子的左右两边在构造上有什么异同?
〔1〕积化和差
〔2〕和差化积
问2:证明〔2〕式有哪些方法?这些方法是在什么思想指导下作出的?
〔1〕换元思想
〔2〕统一角度思想〔角度联系〕〔3〕构造联想
问3:类似地,你能得到哪些三角恒等式?〔课后〕
教材P144第4T
〔了解即可〕
要证原式即证
证明:
∴原等式成立.
例2:
【评析】〔1〕证明三角恒等式的关键在于“统一观〞:从三角恒等式两端的角度关系入手,统一函数名与运算构造.
〔2〕三角恒等式的证明和一般等式相似,重在化繁为简,从左证到右,或从右证到左,或从两边化到中间。
〔3〕注意证明过程的书写。
例3.:
求证:
证明:
由
得
即
又
即
说明:除了三角恒等式证明外,还有一类三角等式的证明,:首先应观察条件与结论之间的差异〔角、函数名、式子构造〕,从解决某一差异入手,将条件转化或将条件代入,从而得证.
三角变换问题
观察角度之间的关系
观察函数之间的关系
同名三角函数
不同名三角函数
切化弦
观察运算构造的关系
恰中选择公式求解或证明
和、差关系
倍、半关系
互余或互补关系
特殊角
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