简单三角恒等变换.doc

第17课简单三角恒等变换(两角和与差的三角函数、二倍角、降幂、合一变形)
教学目标:
(1)知识与技能目标
熟练掌握三角公式及其变形公式.
(2)过程与能力目标
抓住角、函数式得特点,灵活运用三角公式解决一些实际问题.
(3)情感与态度目标
培养学生观察、分析、解决问题的能力.
教学重点:两角和与差的三角函数、二倍角、降幂、合一变形
难点:
1、在三角的恒等变形中,注意公式的灵活运用,要特别注意角的各种变换.(如 等)
2、三角化简的通性通法:从函数名、角、运算三方面进行差异分析,常用的技巧有:
切割化弦、用三角公式转化出现特殊角、 异角化同角、异名化同名、高次低次互化
3、合一变形公式在求最值、化简时起着重要作用。
考点分析高考对三角恒等式部分的考查仍会是中低档题,:
1)以小题形式直接考查:利用两角和与差以及二倍角公式求值、化简;
2)以小题形式与三角函数、向量、解三角形等知识相综合考查两角和与差以及二倍角等公式;
3)以解答题形式与三角函数、向量、解三角形、函数等知识相综合考查,对三角恒等变换的综合应用也可能与解三角形一起用于分析解决实际问题的应用问题,主要考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力。
复习时要重视相关的思想方法,如转化思想、方程思想和整体思想等.
【课前热身】
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)已知,,求,
【知识点梳文】
1、两角和与差公式

正切公式变形:,
2、二倍角公式



3、合一变形公式(辅助角公式):

易得
4、降幂公式

【典型例题与变式练习】
例1、求值(1)
(2)
(3)
※(4)
※(5)计算.
2 =,
∴原式=
点评:(1)对公式会“正用”,“逆用”,“变形使用”。
(2)掌握“角的演变”规律
(3)将公式和其它知识衔接起来使用。
例2、已知,且,.
1)求的取值范围;
2)求的值.
解1)由,得,又,
两式相加有,而,∴,
由与相加得,
∴,;
2)由1)及已知得,,
∴
=
=
=.
变式练习(1)已知,, , 求的值.
(2)已知,,且,,求.
解(1)均为锐角,得,,,
(2) ∵,
∴,又∵,,,∴,∴
点评:角的变换
,
,,等等
例3、试将以下各式化为(,或)的形式:
例(1)
解:原式=
=
(2)
变式(1);
(2)
(3)
方法与技巧总结类型:由以上各例题,简单三角恒等变换能够解答的三类基本题型:
(1)求值
①“给角求值”:给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点,找出和特殊角之间的关系,利用公式转化或消除非特殊角
②“给值求值”:给出一些角得三角函数式的值,求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解
③“给值求角”:转化为给值求值,由所得函数值结合角的范围求出角。
④“给式求值”:给出一些较复杂的三角式的值,求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简,再求之
三角函数式常用化简方法:化正切为弦、高次低次互化;
注意点:灵活角的变形和公式的变形, 重视角的范围对三角函数值的影响,对角的范围要讨论
(2)化简
化简目标:项数习量少,次数尽量低,尽量不含分母和根号
化简基本方法:用公式;异角化同角;异名化同名;化正切为弦;特殊值与特殊角的三角函数值互化。
(4)恒等式的证明方法灵活多样
①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由繁到简.
②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子.
③比较法, 即设法证明: "左边-右边=0" 或" =1";
④分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.
无论是化简还是证明都要注意观察(角、名、式)→三变(变角、变名、变式)
:1)角度的特点、“变角”主要指把未知的角向已知的角转化,是变换的主线,如α=(α+β)-β=(α-β)+β, 2α=(α+β)+ (α-β), 2α=(β+α)-(β-α),α+β=2· , = (α-)-(-β)等.
2)函数名的特点、“变名”指的是化切为弦,
3)“变式’指的是利用二倍角公式和降幂公式升幂降幂,利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等。
巩固练习
1.( B )
A. B. C. D.
2、已知,则( B )
A. B. C. D.
3、已知,,,则.
4、已