第二章 声子.ppt

第二章声子
晶格动力学
本节用经典力学的方法讨论完整晶格中原子(离子)绕平衡位置的振动
晶格振动
首先我们考虑一个元胞中只有一个原子(离子)的简单晶格
晶体的元胞数为N,原子质量为M,原子l 的位置:
则代表此原子的位移。
晶格振动的总动能
总势能为
由于晶体的平移对称性
代表l’元胞中原子沿方向移动单位距离时对l元胞中原子作用力沿方向的分量,称为力常数
因为当整体作刚性运动(即每个原子均作)时,晶格中任一原子受到其它原子作用力之总和为零;即
在简谐近似下,略去展开的三次方
由正则方程
可得系统的运动方程
利用平移对称性及布洛赫定理
对于确定的k,运动方程的解表现出下列特征:
各元胞中原子振动的方向相同,振幅相等。
有特定的相位关系,按变化
因此,每一确定的k 的解代表波长为的集体振动,称为格波
令对应于用波矢k标记的特解
可将3N自由度的耦合方程组简化为N个独立的3自由度耦合方程。
而每个波矢满足方程
-------33动力学矩阵,为实的厄米矩阵。
其对角化方程为
为振动频率,由久期方程
可求出3个本征频率和本征向量
满足正交性和完备性条件
结合以上方程可知:
代表波矢为k、偏振为、频率为的格波解。
在BZ中,一定时刻t的格波解称为简振膜。
根据正格矢与倒格矢之间的关系可得
动力学矩阵是倒逆空间的周期函数;因此在BZ内讨论即可。
由于有N个不同的k,而每个k又对应3个本征值,因此有3N个简正模(或格波解),它们满足正交、归一和完备性条件,构成3N维空间函数组。
对于具有r 个原子的复式晶格,本征频率
晶格振动的一般解:
系数(包括因子)在固体物理学中称为简正坐标;
代表格波的偏振方向,称为极化矢量,它是单位矢。

1. 的共性
i)格波的本征频率是倒点阵的周期函数
ii) 具有点阵所属点群的全部对称性
iii)存在一个普遍的关系式
它是时间反演对称性的结果。
2. 声学模与光学模
声学模:
色散曲线具有k=0时,=0特征的格波称为声学模。
光学模:
反之,当k=0时, 的格波解称为光学模。
可以证明:简单晶格中的全部格波解都属于声学模
因为:
在复式晶格中,同时存在声学模和光学模
对于元胞中有r个原子的复式晶格有本征方程
其中s,s’=1,…,r,代表元胞中不同的原子。
格波频率由下式决定: