矩阵n次方几种求法归纳.doc

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利用定义法
Aa
,B
b
,则Cc
,其cij
ai1b1jai2b2j...
ainbnj
ij
sn
kj
nm
ij
sm
n
称为A与B的乘积,记为C=AB,则由定义能够看出矩阵
A与
aikbkj
k1
B的乘积C的第i行第j列的元素等于第一个矩阵
A的第i行与第二个矩
阵B的第j列的对应元素乘积之和,且由定义知:第一个矩阵的列数与
第二个矩阵的行数要相同1
。
1
2
5
3
5
1
3
0
6
2
1
0
例1:已知矩阵A1
0
2
1
,
,求AB
B
4
5
1
0
1
3
4
3
34
0
2
0
0
4
4
解:设CAB=cij
34
,此中i
1,2,3
;j
1,2,3,4
由矩阵乘积的定义知:
c11
1
5
2653
3
032
c12
1122543231
c13
1
3
21
5
5
3030
c14
10205
1305
c21
15
0
623101c22
1
102241
29
c23
13
0
125107c24
1
000211
02
c31
051633
4
015
c32
01123
44222
c33
0311
3
5
4016
c34
001031403
将这些值代入矩阵C中得:
32 31 30 5
C AB= 1 9 7 2
15 22 16 334
则矩阵A的n次方也可利用定义的方法来求解。
利用矩阵的分块来求解
这种方法主假如把一个大矩阵当作是由一些小矩阵构成,就如矩阵
由数构成的同样在运算中将这些小矩阵当成数同样来办理,再由矩阵
乘法的定义来求解这些小矩阵的乘积所构成的矩阵。即设
A
aij
,B
bkj
,把A,B分解成一些小矩阵:
sn
nm
A11
K
A1l
B11
K
B1r
A
M
O
M,B
M
O
M,此中Aij是si
nj小矩阵且
At1
L
Atl
Bl1
L
Blr
,

,且

1

2

t

s,n1

2

l

n;Bij

是
nj

mk小矩阵且

j

1,2...l

,k

1,2...r

;且

n1

n2

...

nl

n,
m1

m2

...

mr

m;令C

AB=

C11 K
M O
Ct1 L

C1r
M ,此中Cij
Ctr

是si

mj小矩
阵且i

1,2...t

,

j

1,2,...,r

,且s1

s2

...

st

s,m1

m2

...

mr

m;
此中Cij

Ai1

B1j

Ai2

B2j

...

AilBlj

。这里我们应注意:矩阵

A列的分法
一定与矩阵

B行的分法一致

1

。
1
0
0
2
5
1
2
4
5
0
1
0
1
3
例2:已知矩阵A
,B
1
0
,求AB
0
0
1
2
8
4
2
0
0
0
0
6
4
5
0
65
2
1
0
0
2
5
1
0
0
2
5
解:将A
0
1
0
1
3
0
1
0
1
3
写成
E11
A12
00128
0
0128
A21
A22
0
0
0
0
645
0
0
0
0
64
5
1
2
1
2
4
5
4
5
写成B11
1
0
0
B
1
0
1
0
,此中E11
0
1
0
4
2
4
2
B21
0
0
1
0
6
0
6
2
5
1
2
4
2
A12
13
,A22
06,B11
4
5
,B21
0
6
2
8
1
0
由矩阵乘积法例知:
AB=

B11 A12B21
A21B11 A22B2142
由矩阵加法和乘积法例 知1:
9 36
8 25
AB
9 52
0 3642
则矩阵A的n次方的求解也可利用以上方法来求解。

这种方法与矩阵定 义1和数学概括法3相联合,进而找出规律再求
解,可是这种方法比较合适低阶且有规律的方阵
n次方的运算2。
例3:已知A=
cos
sin
,求An
sin
cos
解:当n2时
cos
sin
2
cos
sin
cos
sin
sin
cos
sin
cos
sin
cos
cos2
sin2
2cossin
cos2
sin2
2cos
sin
cos2
sin2
sin2
cos2
当n3时
cos
sin
3
cos
sin
2
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
cos2
cos
sin2
sin
cos2
sin
sin2
cos
cos2
sin
sin2
cos
cos2
cos
sin2
sin
cos3 sin3
sin3 cos3
因此假定An=
cosn
sinn
sinn
cosn
当k
1时建立,假定当kn
1时建立;则当k
n时
cos
sin
n1
sin
An
cos
sin
cos
sin
cos
cosn
1
sinn
1
cos
sin
sinn
1
cosn
1
sin
cos
由矩阵乘法定及三角函数知:An
cosn
sinn
=
则假定建立。
sinn
cosn
因此An=
cosn
sinn
sinn
cosn

这种方法主假如将一个矩阵分解成一个单位矩阵和此外一个矩阵
之和再求解1,且此外这个矩阵的n次方计算起来比较简单2。
1
1
0
例4:已知A=0
1
1
,求An
0
0
1
0
1
0
解:A
E
B,此中B
0
0
1
,矩阵E为单位阵且E2
E
0
0
0
n
E+C1nBCn2B2LCnnBn
EBBEB;故An=EB
0
1
0
0
1
0
0
0
1
由B2
0010
01
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
B3
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
则n
3时,
n。故An
ECn1BCn2B2
B=0
由矩阵加法运算法例 知1:
2
1 n 1 Cn
0 0 1
(利用对角矩阵来求)
定义:设矩阵A,B为数域P上两个n级矩阵,假如能够找到数域P上的n级可逆阵X,使得矩阵BX1AX,就说A与B相似1。假如矩
阵A或B有一个能够化成对角矩阵则计算比较简易。而判断矩阵

A可
对角化的条件 有1:
矩阵A可对角化的必需条件是矩阵A有n个不一样的特点值
矩阵A可对角化的充要条件是矩阵A有个n线性没关的特点向量
在复数域上矩阵A没有重根
而求矩阵A的特点值和特点向量的方法 有1:
求矩阵A特点多项式EA在数域P中的所有根,这些根是矩
A的全部特征值。把这些所求的特征值逐一的代入方程组
E AX 0中,对于每一个特点值,解方程组 E AX 0,求出
一组基础解系,那么这个基础解系就是属于这个特点值的特点向量。
再利用鉴别法判断矩阵 A能否可对角化。
1
2
2
例5:已知矩阵A
2
1
2
,求An
2
2
1
33
1
2
2
解:易知矩阵的A特点多项式
E
A=
2
1
2
2
2
1
由队列式计算方法知:
E
A=
21
3
1
1
3
因此矩阵A的特点值为1,1,3
。
当特点值为1时,解方程E
AX
0,由齐次线性方程组的计算
方法知:EAX
0的基础解系为a1=1
11
;因此矩阵A属于
特点值1的所有特点向量为k11
11
,此中k1
0。
当特点值为 1时,解方程 E AX 0,由齐次线性方程组的计
算方法知:
EAX0的基础解系为
a2=110
;因此矩阵A属
于特点值
1的所有特点向量为k211
0,此中k2
0。
当特点值为3时,解方程 3E AX 0,由齐次线性方程组的计
算方法知:3EAX0的基础解系为a3=011
,因此矩阵A属
于特点值3的所有特点向量为k301
1,此中k3
0。
则由矩阵A可对角化的条件知:矩阵
A可对角化且对角阵为
1
0
0
B
0
1
0
0
0
3
1
1
0
令Ca1a2a3=1
1
1
,由求逆矩阵的方法知:
1
0
133
1
1
1
C1
0
1
1
1
1
0
由于线性变换在不一样基下所对应的矩阵是相像的知: C1AC B
因此C1AC
n
1AnCBn,则
C
1
0
0
Bn
0
1
0
0
0
3

n
33

1 0 0
n
0 1 0
0 0 3n
33
由An
CBnC1,由矩阵的乘法运算法例知:
1
1
1
n
n
1
1
An
3n
1
n
3n
1
n
1
11
1
3n
1
3n
1
33
2)对方阵A,设F1 E A ,对 F1 En做初等变换,
化成 D P 此中D 为上三角阵,则矩阵 D 主对角线上
元素乘积的 的多项式的根即为 A的特点根 i。对矩阵A的任一特点
根 i,代入

D

P

中,若

D

i

中非零向量构成一满秩矩阵,
则D

i

行向量所对应的

P

i

中的行向量

i即为

i的特点向量;否
则,持续实行初等行变换,使得 D i 中非零向量构成一满秩矩阵,
则Di
中零向量所对应的
Pi
中的行向量
i即为i
的特点向
量8。
这种问题所波及的定理是:对随意方阵
A的特点矩阵F
经过行变
换,可化为上三角矩阵G
,且G
主对角线上元素乘积
的多项
式的根即为矩阵A的特点值。
2
1
1
例6:已知矩阵A1
2
1
,求An
1
1
2
33
2
1
1
1
0
0
解:F
E3
1
2
1
0
1
0
,
1
1
2
0
0
1
作初等行变换
1
2
1
0
1
0
2
1
1
1
0
0
1
1
2
0
0
1
1
2
1
0
1
0
0
2
4
3
1
0
2
0
0
1
1
0
1
1
1
2
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
D
P33
0
0
4
1
1
1
3
由上述定理知:矩阵A的特点值为
1(二重),4。
1
1
1
0
1
0
当
1时,D1P1
0
00
0
11
,由2)中判
0
0
0
1
1
2
别法知:矩阵的特点向量为:1
0
1
1
,2
1
1
2
。
1
2
1
0
1
0
当
4时,D4P4
0
3
30
1
1
,由2)中判
0
0
0
1
1
1
别法知:矩阵A的特点向量为:
3
1
1
1
。
1
0
0
则由相像矩阵的条件知:矩阵与对角矩阵相像且对角矩阵为
0
1
0
0
0
4
0
1
1
1
0
0
则存在可逆阵T1
1
1
使得T1AT
0
1
0
1
2
1
0
0
4
由求可逆阵的方法知:
1
1
0
T12
1
1;
3
3
3
1
1
1
3
3
3
1
0
n
1
0
0
n
0
由An
T0
1
0T1
T0
1
0
T1知:
0
0
4
0
0
4