斜抛运动疑难分析.doc

斜抛运动疑难分析
河北省鸡泽县第一中学057350吴社英
运动的分解
如果物体抛出时的速度v不沿水平方向,而是斜向上方或斜向下方的(这种情况常称为斜抛),它的受力情况与平抛完全相同,即在水平方向仍不受力,加速度仍是零,在竖直方向仍只受重力,加速度仍为g。
但是,斜抛运动沿水平方向和竖直方向的初速度与平抛不同,分别是vx=v cos θ和vy=v sin θ。因此,斜抛运动可以看成是水平方向速度为v cos θ的匀速直线运动和竖直方向初速度为v sin θ的竖直上抛运动或竖直下抛运动的合运动。
x
y
O
v
vx
vy
物体的位置随时间变化的规律
如图,物体以初速度v斜向上抛出,我们以物体离开手的位置为坐标原点,以水平抛出的方向为x轴的正方向,竖直向下的方向为y轴的正方向,建立坐标系,并从这一瞬间开始计时。
物体在水平方向不受任何外力的作用,所以物体在水平方向做匀速直线运动,速度vx=v cos θ,则物体位置的横坐标随时间变化的规律为 x=vxt=vt cos θ;
物体在竖直方向只受重力作用,由牛顿第二定律可知,物体的加速度a=g,方向竖直向下。注意,与平抛运动不同的是,小球在竖直方向的初速度并不为零,而是等于vy=v sin θ,由匀变速直线运动规律可得小球位置的纵坐标随时间变化的关系为  y=vyt-at2=vt sin θ-gt2。
运动轨迹
从以上两式中消去t,可得
y=-+tan θ·x。
根据数学知识我们知道,函数方程y=-ax2+bx+c代表一条开口向下的抛物线。因此,斜抛物体的运动轨迹为抛物线。我们可作以下讨论:
⑴ 数学知识告诉我们,对y=-ax2+bx+c,当x=时,y有最大值ym=+c。所以,对上述斜抛运动轨迹方程,当
 x=
时,y有最大值 ym=。
对于炮弹的运动而言,此即弹道曲线最高点的位置坐标,也常称作射高。
⑵ 设斜抛运动轨迹方程中的y=0,则有
   x1=0, x2=,
式中x2的物理意义是斜上抛运动的水平射程(如炮弹发射后在同一水平面上的弹着点与发射位置的距离)。由此式可以知道,要增大射程,一是要增大发射速度,二是适当调节抛射方向,由水平射程表达式可知,在v一定时,当θ=45°(θ常称作投射角)时,水平射程有最大值 xm=。
除了上面的研究方案外,我们还可以发现,炮弹的运动轨迹对经过最高点的竖直线是左右对称的。这启发我们:是不是可以将斜抛运动转化为平抛运动来分析处理呢?有兴趣的同学不妨一试。
请思考:运动员在投掷铅球、标枪时,应把投射角控制在什么角度为好?运动员的身高对他的投掷成绩有没有影响?
你能进一步推导出这种斜抛运动的轨迹方程吗?请试一试!
受空气阻力时的运动轨迹
我们在讨论抛体运动的位置、轨迹以及速度等问题时,都没有考虑空气阻力的影响,即讨论的是理想抛体运动。
实际上,物体在空气中运动会受到阻力,且阻力与物体运动速度的大小有密切关系:物体的速度低于200m/s时,可认为阻力与物体速度大小的平方成正比;速度达到400~600m/s时,空气阻力和速度大小的三次方成正比;在速度很大的情况下,阻力与速度大小的高次方成正比。由于空气阻力的影响,物体以较大的速度斜向上抛出后,其运动轨迹会形成不均等的弧形,升弧较长而直伸,降弧则较短而弯曲。
4km