等比数列问题常见错误剖析.docx

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广东
马志刚
一、看法不明
例1
若k,2k
2,3k
3是一个等比数列的前三项,则
k
.
错解:依题意2k
2
是k和3k
3的等比中项,
∴(2k
2)2
k(3k
3),整理得k2
5k4
0,
解得k
1或k
4.
分析与正解:此解忽略了等比数列任意一项都不为
0这一条件,所以k
1不适合题意,应
舍去,答案为k
4
.
二、忽略隐含条件
例2
已知等比数列
an
,若
a1a
2
a3
7
,
12
3
,求
an
.
a·a·a8
错解:∵a1·a3
a22,∴a1·a2·a3
a23
8,
a1
a3
,
∴a2
2
5
,∴
·
,
a1
a3
4
a1
,
a1
,
解得
1
或
4
a3
,
a3
.
4
1
∵a3
a1q2,∴q
2或q
1,
2
∴an
2n1或an
(2)n1或an
23n或an
(2)3n.
分析与正解:由上面求出的
a1,a2,a3的值,可获取题目的一个隐含条件
q
0,所以q2或
q
1,所以an
2n
1或an
23
n.
2
三、忽略公式的使用范围
例3
已知等差数列
an的首项a1
2,公差为d,bn
2an
,求数列
bn
的前n项和Sn.
错解:
∵
bn1
2an1
2
(a
a)
,
∴数列bn
是一个首项为
a
4,公比为
2
d
的等比数列,
bn
2an
n1
n
21
∴Sn
4(1
2nd)
.
1
d
2
分析与正解:等比数列的前
n项和公式Sn
a1(1
qn)只在q
1时适用,当q
1时,Snna1.
1
q
4n
(d
,
0)
∴Sn
4(1
2nd)
(d
0).
1
2d
例4已知数列
an的前n项和为
Sn满足
log2(Sn
1)
n1,求数列
an
的通项公式.
错解:由log2(Sn
1)
n1,得Sn
2n
1
1,
∴anSn
Sn1
2n1
1(2n
1)2n,
∴数列an
的通项公式为an
2n.
分析与正解:错因在于忽略了公式
an
Sn
Sn1成立的条件为n1.
3
(n
,
当n1时,a1
S1
3,不满足an
2n,所以数列
an
的通项公式为
an
1)
n
(n
.
2
1)