初三《圆》章节知识点总结.pdf

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一、圆的概念
集合形式的概念:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;
3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念:
1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;
(补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫
中垂线);
3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定
长的两条直线; 
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离
都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内点在圆内;
drCAd
r
2、点在圆上dr点B在圆上;O
B
d
3、点在圆外dr点A在圆外;
C
 
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离无交点;
 dr 
2、直线与圆相切dr有一个交点;
3、直线与圆相交dr有两个交点;
r
dd=rrd
四、圆与圆的位置关系
外离(图1)无交点dRr;
外切(图2)有一个交点dRr;
相交(图3)有两个交点RrdRr;
内切(图4)有一个交点dRr;
内含(图5)无交点dRr;
ddd
  
RrRrRr
周1周2周3
ddr
r
RR
周4周5
五、垂径定理
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
 
以上共4个定理,简称 2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即
可推出其它3个结论,即:
①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD
中任意2个条件推出其他3个结论。
A
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
 CD
即:在⊙O中,∵AB∥CDOO
ABE
∴弧AC弧BDCD
B
六、圆心角定理
E
圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对
F
O
D
A
C
B
的弧相等,弦心距相等。此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,
只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,
 
即:①AOBDOE;②ABDE;
③OCOF;④弧BA弧BD
七、圆周角定理
1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一C
 
半。
BO
即:∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角
A
∴AOB2ACB
2、圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的DC
圆周角所对的弧是等弧; 
即:在⊙O中,∵C、D都是所对的圆周角BO
A
∴CD
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧
C
是半圆,所对的弦是直径。 
BA
即:在⊙O中,∵AB是直径或∵C90O
∴C90∴AB是直径
推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是C
直角三角形。
BA
即:在△ABC中,∵OCOAOBO
∴△ABC是直角三角形或C90
注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一
半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。
即:在⊙中,
OD
C
∵四边形ABCD是内接四边形
∴CBAD180BD180
 
DAECB
AE
九、切线的性质与判定定理
(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线;
两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可
即:∵MNOA且MN过半径OA外端
∴MN是⊙O的切线
O
(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)
推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。
MAN
推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理:
即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
 
十、切线长定理
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切
线的夹角。 
B
即:∵PA、PB是的两条切线
∴PAPBO
P
PO平分BPA
A
十一、圆幂定理
(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。D
BO
P
A
C
即:在⊙O中,∵弦AB、CD相交于点P,
∴PAPBPCPD
 
(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的C
两条线段的比例中项。B
OEA
即:在⊙O中,∵直径ABCD,
D
∴CE2AEBE
(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切
A
线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。E
D
O
即:在⊙O中,∵PA是切线,PB是割线P
CB
∴PA2PCPB
(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 
的积相等(如上图)。
即:在⊙O中,∵PB、PE是割线
∴PCPBPDPE
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆A的
的公共弦。O1O2
 
如图:OO垂直平分AB。
12B
即:∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点
∴O1O2垂直平分AB
A
B
十三、圆的公切线
C
 O1
两圆公切线长的计算公式:O2
(1)公切线长:中,2222;
RtO1O2CABCO1O1O2CO2
(2)外公切线长:CO2是半径之差;内公切线长:CO2是半径之和。
十四、圆内正多边形的计算
C
(1)正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形,有关计算在RtBOD中进行:O
A
OD:BD:OB1:3:2;BD
BC
(2)正四边形
同理,四边形的有关计算在RtOAE中进行,O
:
OE:AE:OA1:1:2AED
 
(3)正六边形
同理,六边形的有关计算在RtOAB中进行,AB:OB:OA1:3:
B
A
 
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式A
nR
1、扇形:(1)弧长公式:l;
180
OSl
nR21
(2)扇形面积公式:SlR
3602B
n:圆心角R:扇形多对应的圆的半径l:扇形弧长S:扇形面积
2、圆柱:
D
D1
(1)圆柱侧面展开图A
 
2周周周
S表底S侧2S=2rh2r
周周周周周
BC1
C
(2)圆柱的体积:Vr2h
B1
O
(3)圆锥侧面展开图
2R
(1)S表底S侧S=Rrr
1C
(2)圆锥的体积:V:ArB
3
圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表:
内容圆的有关性质直线和圆的圆与圆的位置正多边形和圆
位置关系关系
所占分数百分比5%~15%8%~16%3%~12%2%~8%
圆的知识在中考中所占的比例大,题型多,常见的有填空题、选择题、计算题或证明
题,近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题,中考的压轴题都综合了圆
的知识。
圆中考试题集锦
一、选择题
  1.(北京市西城区)如图,BC是⊙O的直径,P是CB延长线上一点,PA切
⊙O于点A,如果PA=3,PB=1,那么∠APC等于 (  )(切割线定理)
  (A)15   (B)30   (C)45   (D)60
1
  2.(北京市西城区)如果圆柱的高为20厘米,底面半径是高的,那么这个圆柱
4
的侧面积是 (  )(圆柱展开图)
  (A)100π平方厘米          (B)200π平方厘米
  (C)500π平方厘米          (D)200平方厘米
  3.(北京市西城区)“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题,
“今在圆材,埋在壁中,,深一寸,锯道长一尺,问径几何?
”用现在的数学语言表述是:“如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为
E,CE=1寸,AB=10寸,求直径CD的长”.依题意,CD长为 (  )(垂径定
理)
25
  (A)寸   (B)13寸   (C)25寸   (D)26寸
2
  4.(北京市朝阳区)已知:如图,⊙O半径为5,PC切⊙O于点C,PO
交⊙O于点A,PA=4,那么PC的长等于 (  )(切线的性质)
(A)6   (B)25   (C)210   (D)214
  5.(北京市朝阳区)如果圆锥的侧面积为20π平方厘米,它的母线长
为5厘米,那么此圆锥的底面半径的长等于 (  )(圆锥的展开图)
(A)2厘米   (B)22厘米   (C)4厘米   (D)8厘米
6.(天津市)相交两圆的公共弦长为16厘米,若两圆的半径长分别为10厘米和17厘
米,则这两圆的圆心距为 (  )(公共弦定理)
  (A)7厘米 (B)16厘米  (C)21厘米   (D)27厘米
  7.(沈阳市)如图,PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的割线且过圆心,PA=4,PB=2,则
⊙O的半径等于 (  )(切割线定理)
  (A)3   (B)4     (C)6     (D)8
8.(甘肃省)如图,AB是⊙O的直径,∠C=30,则∠ABD= (  
)(圆周角)
  (A)30   (B)40   (C)50    (D)60
 9.(甘肃省)弧长为6π的弧所对的圆心角为60,则弧所在的圆的半
径为 (  )(弧长公司)
  (A)6    (B)62   (C)12     (D)18
  10.(宁夏回族自治区)已知圆的内接正六边形的周长为18,那么圆的面积为 (  
)(内接正多边行的计算)
  (A)18π (B)9π     (C)6π      (D)3π
 11.(安徽省)已知圆锥的底面半径是3,高是4,则这个圆锥侧面展开图的面积是 
(  )(圆锥展开图)
  (A)12π    (B)15π      (C)30π      (D)24π
  12.(安微省)已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30,过C点的切线
=5,则⊙O的半径为 (  )(切线的性质)
5353
  (A)     (B)    (C)10    (D)5
36
  13.(福州市)如图:PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的一条割线,有
PA=32,PB=BC,那么BC的长是 (  )(切割线定理)
 (A)3     (B)32    (C)3    (D)23
14.(苏州市)如图,⊙O的弦AB=8厘米,=2厘
 (  )
(A)8厘米  (B)6厘米   (C)4厘米   (D)2厘米
 15.(苏州市)如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=160,则∠BCD= (  )
(内接多边形)
 (A)160  (B)100   (C)80   (D)20
  16.(扬州市)如图,AB是⊙O的直径,∠ACD=15,则∠BAD的度数
为 (  )(圆周角)
  (A)75  (B)72     (C)70    (D)65
  17.(扬州市)已知:点P直线l的距离为3,以点P为圆心,r为半径画圆,
如果圆上有且只有两点到直线l的距离均为2,则半径r的取值范围是 (  
)(圆与直线的位置关系)
  (A)r>1  (B)r>2     (C)2<r<3    (D)1<r<5
   二、解答题:
1.(河北省)已知:如图,BC是⊙O的直径,AC切⊙O于点C,AB交⊙O于点D,若
AD︰DB=2︰3,AC=10,求sinB的值.

2.(宁夏回族自治区)如图,在两个半圆中,大圆的弦MN与小圆相切,D为切点,且
MN∥AB,MN=a,ON、CD分别为两圆的半径,求阴影部分的面
积.
3.(四川省)已知,如图,以△ABC的边AB作直径的⊙O,分别并AC、BC于点D、E,弦
FG∥AB,S△CDE︰S△ABC=1︰4,DE=5cm,FG=8cm,求梯形AFGB的面积.


4.(贵阳市)如图所示:PA为⊙O的切线,A为切点,PBC是过点O的割线,
PA=10,PB=5,求:
(1)⊙O的面积(注:用含π的式子表示);
(2)cos∠BAP的值.(用相似)