小学奥数知识点趣味学习——分数拆分.doc

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例题1:
从整数1开始不改变序次的相加,中途分为两组,,1+2=3;从1
到20的话:1+2+3++14=15+16+17++20.
请问:除上述两例外,能够列出这样的最短的整数算式是从1到几?
【解析与解】我们用这种阶梯图来表示连续的数相加,假设情况见以下图,
我们经过图得知,c是公共部分,而b+c为原等式的右边,a+c为原等式的左边,所以有a=b,a
部分面积为
(能够看作从1素来加到A),b部分面积为B×B(能够看作从1素来加到B再又加到1);
有
=B×B.
能够表示为奇数×相邻的偶数÷2=B×B;
其中A是连续两个数中较小的一个,B的平方等于连续两个数的乘积除以2.
因为相邻的两个数互质,所以,偶数÷2后与原相邻奇数也互质;
所以,奇数必然为完好平方数;偶数÷2也为完好平方数,这样:
①奇数为1,则偶数为2,除以2,为1,均为完好平方数.
A=l,=1×2÷2=1,于是为A+B=2,A+2B=3;所以为l+2=3;
②奇数为9,则偶数为8,除以2,为4,均为完好平方数.
A=8,
=8×9÷2=36,于是为A+B=8+6=14,
A+2B=8+2×6=20;所以为1+2+3++14=15+16+17++20;
还可以够偶数为10,除以2,为5,不是完好平方数,不满足.
③奇数为25,则偶数为24,除以2,为12,不是完好平方数,不满足;
还可以够偶数为26,除以2,为13,不是完好平方数,不满足.
④奇数为49,则偶数为48,除以2,为24,不是完好平方数,不满足;
还可以够偶数为50,除以2,为25,是完好平方数.
A=49,
=49×50÷2=1225,
于是为A+B=49+35=84,A+2B=49+2×35=119.
所以等式为l+2+3++84=85+86+87++119(=3570).
所以所求的式子为1+2+3++84=85+86+87++119(=3570).
例题2:
,可是写的序次不相同,也只看作
,只使用一个自然数,也看作一种方法.
比方,把6用三个以内的自然数的和来表示的方法有以下七种:
6,5+1,4+2,3+3,4+l+1,3+2+1,2+2+:把50用三个以内的自然数的和来表示的
方法有几种?
(2)比方,把7用3以下的自然数的和来表示的方法有以下八种:
3+3+1,3+2+2,
3+2+1+1,
2+2+2+l,3+1+1+1+1,
2+2+l+1+1,
2+1+1+1+1+1,
1+l+1+1+1+1+1.
请问:把50用3以下的自然数的和来表示的方法有几种?
【解析与解】
我们注意到设x+y+z=50,求x、y、z有多少组可能的值,并且x、y、z代表的数字调换序次只算一种.
为了方便计算,不如设x≤y≤z.
当x=0时,y+z=50,y能够取0~25,z对应取值,于是有26组解;当x=1时,y+z=49,y能够取1~24,z对应取值,于是有24组解;当x=2时,y+z=48,y能够取2~24,z对应取值,于是有23组解;当x=3时,y+z=47,y能够取3~23,z对应取值,于是有21组解;
当x=4时,y+z=46,y能够取4~23,z对应取值,于是有20组解;
当x=15时,y+z=35,y能够取15~17,z对应取值,于是有3组解;
当x=16时,y+z=34,y能够取16~17,z对应取值,于是有2组解.
所以,共有

26+24+23+21+20+

+3+2

组可能的值;
我们知道有

17个数的和,我们注意到这些数的规律,每个数是上一个数-

2,-1,-2,-1,,-
2,-1;
所以,我们这样计算
26+(24+23)+(21+20)++(3+2)
=26+
=26+(47+5)×8÷2
=26+52×4
=234
所以有234种不相同的表示方法.
我们注意一下,把6也分成三个以内的数的和,如:
6=1+1+4.
我们注意到从左往右看能够获取下面的数:1+1+4=6,
而从上往下看获取右边的数
3+1+1+1=6,
每个数都是
3或3以下.
并且不只是
6满足,其他的也满足,当把它从左到右排列成三个数以内的和,则从上到下必然是
3
以内的数的和.
也就说是一一对应的,于是
(1)的种数就是(2)
234种.
例题3.
洗衣服要打好肥皂,揉搓得很充分,再拧一下,,衣服上还留有
,假设每次用来漂洗的水都是整数千克,试问留下的污物最
少是冲洗前的几分之几?
【解析与解】
我们假设分成n次分别为x,y,z,,
则每次漂洗的时候,总是加上前一次剩下的l千克污水,则每次实质水量分别为:
x+1,y+l,z+1,,
则最后剩下了
,要使最后残留的最少,只要分母最大即可.
注意到当18全部分成2的时候,2+1即是3,此时分了18÷2=9次,于是为
.
但是我们还应注意到,当分的次数越多,分母的和越大.
如:当分成10次时,经过的水量变成18+10=28,
则此时能够是8个3千克,2个2千克,
此时为
.
于是考虑最极端的情况,我们把清水分成18次,
此时经过的水量变成18+18=36,为18个2千克,
此时对应
.
因为每次必定是整数千克的水,所以不能够再分.
于是,当分成18次,每次1千克,此时剩下的污物残留量最少,为冲洗前的