高中数学直线与圆的方程知识点总结.doc

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一、概念理解:
1、倾斜角:①找α:直线向上方向、x轴正方向;
②平行:α=0°;
③范围:0°≤α<180°。
2、斜率:①找k:k=tanα(α≠90°);
②垂直:斜率k不存在;
③范围:斜率k∈R。
斜率与坐标:
①构造直角三角形(数形结合);
②斜率k值于两点先后顺序无关;
③注意下标的位置对应。
直线与直线的位置关系:
①相交:斜率(前提是斜率都存在)
特例----垂直时:<1>;
<2>斜率都存在时:。
②平行:<1>斜率都存在时:;
<2>斜率都不存在时:两直线都与x轴垂直。
③重合:斜率都存在时:;
二、方程与公式:
1、直线的五个方程:
①点斜式:将已知点直接带入即可;
②斜截式:将已知截距直接带入即可;
③两点式:将已知两点直接带入即可;
④截距式:将已知截距坐标直接带入即可;
⑤一般式:,其中A、B不同时为0
用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标:直接将两直线方程联立,解方程组即可
3、距离公式:
①两点间距离:
②点到直线距离:
③平行直线间距离:
4、中点、三分点坐标公式:已知两点
①AB中点:
②AB三分点:靠近A的三分点坐标
靠近B的三分点坐标
中点坐标公式,在求对称点、第四章圆与方程中,经常用到。
三分点坐标公式,用得较少,多见于大题难题。

已知点关于已知直线的对称:设这个点为P(x0,y0),对称后的点坐标为P’(x,y),则pp’的斜率与已知直线的斜率垂直,且pp’的中点坐标在已知直线上。
解题指导与易错辨析:
1、解析法(坐标法):
①建立适当直角坐标系,依据几何性质关系,设出点的坐标;
②依据代数关系(点在直线或曲线上),进行有关代数运算,并得出相关结果;
y
x
o
③将代数运算结果,翻译成几何中“所求或所要证明”。
动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”:
①的最小值:找对称点再连直线,如右图所示:
②的最大值:三角形思想“两边之差小于第三边”;
③的最值:函数思想“转换成一元二次函数,找对称轴”。
直线必过点:①含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1=>y=(a-1)(x+2)+3
令:x+2=0=>必过点(-2,3)
②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0=>m(3x+y)+n(2y-x-1)=0
令:3x+y=0、2y-x-1=0联立方程组求解=>必过点(-1/7,3/7)
易错辨析:
①讨论斜率的存在性:
解题过程中用到斜率,一定要分类讨论:<1>斜率不存在时,是否满足题意;
<2>斜率存在时,斜率会有怎样关系。
②注意“截距”可正可负,不能“错认为”截距就是距离,会丢解;
(求解直线与坐标轴围成面积时,较为常见。)
③直线到两定点距离相等,有两种情况:
<1>直线与两定点所在直线平行;
<2>直线过两定点的中点。
圆的方程
定义:一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆,其中定点称为圆的圆心,定长为圆的半径.
圆的方程表示方法:
第一种:圆的一般方程——其中圆心,半径.
当时,方程表示一个圆,
当时,方程表示一个点.
当时,方程无图形.
第二种:圆的标准方程——.其中点为圆心,为半径的圆
第三种:圆的参数方程——圆的参数方程:(为参数)
注:圆的直径方程:已知
:给定点及圆.
①在圆内
②在圆上
③在圆外
:
设圆圆:;直线:;
圆心到直线的距离.
①时,与相切;
②时,与相交;,
③时,与相离.
圆的切线方程:
①一般方程若点(x0,y0)在圆上,则(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=,过圆上一点的切线方程为.(注:该点在圆上,则切线方程只有一条)
②若点(x0,y0)不在圆上,圆心为(a,b)则,联立求出切线方程.(注:过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解,那么另外一条切线必定是垂直于X轴的直线。)
:
过两圆的交点的圆方程:假设两圆方程为:C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0则过两圆的交点圆方程可设为:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0
过两圆的交点的直线方程:x2+y2+D1x+E1y+F1-x2+y2+D2x+E2y+F2=0(两圆的方程相减得到的方程就是直线方程)
:
弦长的计算:AB=2*√R2-d2其中R是圆的半径,d等于圆心到直线的距离
AB=(√1+k2)*∣X1-X2∣其中k是直线的斜率,X1与X2是直线与圆的方程联
立之后得到的两个根
过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线
圆内的最长弦是直径

①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径
②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径
③假设P(x,y)是在某个圆上的动点,则(x-a)/(y-b)的最值可以转化为圆上的点与该点(a,b)的斜率问题,即先求过该定点的切线,得到的斜率便是该分式的最值。
④假设P(x,y)是在某个圆上的动点,则求x+y或x-y的最值可以转化为:设T=x+y或T=x-y,在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y轴上的截距最值化。

①已知圆关于已知的直线对称,则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的,只需求出已知圆
的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。
②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆,则这个直线必过某定点,且该定点是圆的圆
心坐标