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必修1数学知识点
集合:
1、集合的定义:一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集。集合中的每个对象叫做
这个集合中的元素
2、集合元素的特征:①确定性②互异性③无序性
3、集合的分类:①有限集②无限集③空集,记作
4、集合的表示法:①列举法②描述法③文氏图法④特殊集合⑤区间法
常用数集及其记法:①自然数集(或非负整数集)记为正整数集记为或
②整数集记为③实数集记为④有理数集记为
5、元素与集合的关系:①属于关系,用“”表示;②不属于关系,用“”表示
6、集合间的关系:①包含:用“”表示②真包含:用“”表示③相等④不相等
7、集合的交、并、补
交集的定义:由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合,叫做与的交集,记作,
即
并集的定义:由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合,叫做与的并集,记作,
即
8、全集与补集:对于一个集合,由全集中不属于的所有元素组成的集合称为集合相对于集合的补集,记作,即
9、交集、并集、补集的运算:
(1)交换律:
(2)结合律:
(3)分配律:.
(4)0-1律:
(5)等幂律:
(6)求补律:
(7)反演律:
U
CUA
A
10、文氏图的应用:交集、并集、补集的文氏图表示
A
B
A∩B
A∪B
11、重要的等价关系:
12、一个由个元素组成的集合有个不同的子集,其中有个非空子集,也有个真子集
函数:
1、映射:设是两个集合,如果按照某种对应法则,对于集合中的任何一个元素,在集合中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合以及到的对应法则)叫做从集合到集合的映射,记作,其中叫做的象,叫做的原象
如果在这个映射下,对于集合中的不同元素,在集合中有不同的象,而且中的每一个元素都有原象,那么这个映射叫做到上的一一映射
函数:设是两个非空数集,那么从到的映射就叫做函数,记作,其
中,叫做自变量,,函
数值的集合叫做函数的值域,值域,函数三要素:定义域、值域、对应法则;两个函数相同:定义域和对应关系都分别相同
3、函数的表示方法:(1)列表法(2)图象法(3)解析法
4、分段函数:在自变量的不同取值范围内,其解析式不同,分段函数不是几个函数,是一个函数
5、(1)函数的定义域的常用求法:
①分式的分母不等于零②偶次方根的被开方数大于等于零③对数的真数大于零
④指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1
⑤三角函数正切函数中,余切函数中,
⑥如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其取值范围
(2)值域的求法:①直接法②分离常数法③图象法④换元法⑤判别式法⑥不等式与对勾函数
6、求函数解析式的方法:
①直代②凑配法③换元法④待定系数法⑤列方程组法⑥特殊值法
7、增减函数的定义:对于函数的定义域内某个区间上的任意两个自变量的值
①若当时,都有,则说在这个区间上是增函数
②若当时,都有,则说在这个区间上是减函数
8、(1)单调性的证明:讨论函数的增减性应先确定单调区间,用定义证明函数的增减性,有“一设,二差,三判断”三个步骤
(2)函数单调性的常用结论:
①若均为某区间上的增(减)函数,则在这个区间上也为增(减)函数
②若为增(减)函数,则为减(增)函数
③若与的单调性相同,则是增函数;若与的单调性不同,则是减函数,即复合函数的单调性是“同增异减”
④奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反
9、(1)奇、偶函数的定义:对于函数
①如果对于函数定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做偶函数
②如果对于函数定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做奇函数
注意:①函数为奇偶函数的前提是定义域在数轴上关于原点对称
②是定义域上的恒等式
③若奇函数在处有意义,则
④奇函数的图像关于原点成中心对称图形,偶函数的图象关于轴成轴对称图形
(2)函数奇偶性的常用结论:
①如果一个奇函数在处有定义,则,如果一个函数既是奇函数又是偶函数,则(反之不成立)
②两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数
③一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数
④两个函数和复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数
基本初等函数
1、(1)一般地,如果,那么叫做的次方根。其中
①负数没有偶次方根②0的任何次方根都是0,记作
③当是奇数时,,当是偶数时,
④我们规定:(1)(2)
(2)对数的定义:设且,对于数,若能找到实数,使得,那么数称为以为底的的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数
注:(1)负数和零没有对数(因为)(2)(且)
(3)将代回得到一个常用公式(4)
(3)幂函数的定义:一般地,,是常数
2、(1)①②
③
(2)当时:
①②③
④换底公式:,利用换底公式推导下面的结论:
(1)(2)
3、(1)指数函数的定义:
(2)对数函数的定义:一般把函数叫做对数函数,它的自变量为,其定义域是,底数为常数
表1
指数函数
对数数函数
定义域
值域
图象
性质
过定点
过定点
减函数
增函数
减函数
增函数
表2
幂函数
奇函数
偶函数
第一象限性质
减函数
增函数
过定点
零点、二分法:
1、(1)函数的零点:
①对于函数,我们把使的实数叫做函数的零点
方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点
②如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且,那么函数在区间内有零点,即存在,使得,这个也就是方程的根
(2)函数零点的求法:
①(代数法)求方程的实数根
②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点
2、二分法:
定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,
使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法
高中数学必修2知识点
立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征
(1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等
表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱
几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形
(2)棱锥定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示:用各顶点字母,如五棱锥
几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方
(3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示:用各顶点字母,如五棱台
几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征:①底面是全等的圆②母线与轴平行③轴与底面圆的半径垂直
④侧面展开图是一个矩形
(5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
几何特征:①底面是一个圆②母线交于圆锥的顶点③侧面展开图是一个扇形
(6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分
几何特征:①上下底面是两个圆②侧面母线交于原圆锥的顶点③侧面展开图是一个弓形
(7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征:①球的截面是圆②球面上任意一点到球心的距离等于半径
2、空间几何体的三视图
定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)
注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点:①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和
(2)特殊几何体表面积公式(为底面周长,为高,为斜高,为母线):
(3)柱体、锥体、台体的体积公式:
(4)球体的表面积和体积公式:
5、空间点、直线、平面的位置关系
(1)平面
①平面的概念:描述性说明平面是无限伸展的
②平面的表示:通常用希腊字母表示,如平面(通常写在一个锐角内);也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面
③点与平面的关系:点在平面内,记作;点不在平面内,记作
点与直线的关系:点的直线上,记作:;点在直线外,记作
直线与平面的关系:直线在平面内,记作;直线不在平面内,记作
(2)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内
(即直线在平面内,或者平面经过直线)
应用:检验桌面是否平;判断直线是否在平面内
用符号语言表示公理1:
(3)公理2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面
公理2及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据
(4)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号:平面和相交,交线是,记作符号语言:
公理3的作用:
①它是判定两个平面相交的方法
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点
③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据
(5)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行
(6)空间直线与直线之间的位置关系
①异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线②异面直线性质:既不平行,又不相交
③异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线
④异面直线所成角:直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线
,则把直线和所成的锐角(或直角)叫做异面直线和所成的角。两条异面直线所成角的范围是,若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直
说明:(1)判定空间直线是异面直线方法:①根据异面直线的定义②异面直线的判定定理
(2)在异面直线所成角定义中,空间一点是任取的,而和点的位置无关
(3)求异面直线所成角步骤:
A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上
B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角
(7)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补
(8)空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点
三种位置关系的符号表示:
(9)平面与平面之间的位置关系:平行——没有公共点:相交——有一条公共直线:
6、空间中的平行问题
(1)直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行
线线平行线面平行
线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,
那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行
(2)平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理
(1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行
(线面平行面面平行)
(2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行
(线线平行面面平行)
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行
两个平面平行的性质定理
(1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行(面面平行线面平行)
(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行(面面平行线线平行)
7、空间中的垂直问题
(1)线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直
②线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直
③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组
成的图形)是直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直
(2)垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面
性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行
②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直
性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另
一个平面
8、空间角问题
(1)直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角:规定为
②两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角
③两条异面直线所成的角:过空间任意一点,分别作与两条异面直线平行的直线
,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直
角的角叫做两条异面直线所成的角
(2)直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角:规定为②平面的垂线与平面所成的角:规定为
③平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这
个平面所成的角
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角:“一作,二证,三计算”
在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息:(1)斜线上一点到面的垂线
(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线
(3)二面角和二面角的平面角
①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面
②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角
③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角
④求二面角的方法
定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角
垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角
直线与方程
1、直线的倾斜角
定义:轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与轴平
行或重合时,我们规定它的倾斜角为度。因此,倾斜角的取值范围是
2、直线的斜率
①定义:倾斜角不是的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率
常用表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度
当时,当时,当时,不存在
②过两点的直线的斜率公式:
注意下面四点:(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°
(2)与的顺序无关
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到
3、直线方程
①点斜式:直线斜率,且过点
注意:当直线的斜率为时,,直线的方程是
当直线的斜率为时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示。但因上每一点的横坐标都等于,所以它的方程是
②斜截式:,直线斜率为,直线在轴上的截距为
③两点式:()直线两点,
④截矩式:,其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为
⑤一般式:(不全为0)
注意:①各式的适用范围②特殊的方程如:平行于轴的直线:(为常数);平行于轴的直线:(为常数)
4、两直线平行与垂直
当,时,;
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否
5、两条直线的交点:相交
交点坐标即方程组的一组解
方程组无解方程组有无数解与重合
6、两点间距离公式:设是平面直角坐标系中的两个点,
则
7、点到直线距离公式:一点到直线的距离
8、两平行直线距离公式:在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解
圆的方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径
2、圆的方程
(1)标准方程,圆心,半径为
(2)一般方程
当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为
当时,表示一个点;当时,方程不表示任何图形
(3)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出;若利用一般方程,需要求出,另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置
3、直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:
(1)设直线,圆,圆心到的距离为
,则有;;
(2)设直线,圆,先将方程联立消元,得到一个
一元二次方程之后,令其中的判别式为,则有
注:如果圆心的位置在原点,可使用公式去解直线与圆相切的问题,其中
表示切点坐标,表示半径
(3)过圆上一点的切线方程:
①圆,圆上一点为,则过此点的切线方程为
②圆,圆上一点为,则过此点的切线方程为
4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距()之间的大小比较来确定
设圆,
两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距()之间的大小比较来确定
当时两圆外离,此时有公切线四条
当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条
当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线
当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线
当时,两圆内含
当时,为同心圆
高一数学必修3
算法初步
1、秦九韶算法:通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值,对于一个次多项式,只要作次乘
法和次加法即可。表达式如下:
理解算法的含义:一般而言,对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法,其意义具有广泛的
含义
(1)描述算法有三种方式:自然语言,流程图,程序设计语言(本书指伪代码)
(2)算法的特征:
①有限性:算法执行的步骤总是有限的,不能无休止的进行下去
②确定性:算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切,而且必须有输出,输出可以是一个或多个。没有输出的算法是无意义的
③可行性:算法的每一步都必须是可执行的,即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间内可以完成,在时间上有一个合理的限度
(3)算法含有两大要素:①操作:算术运算,逻辑运算,函数运算,关系运算等
②控制结构:顺序结构,选择结构,循环结构
流程图:(flowchart):是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图
形程序,它直观、清晰、易懂,便于检查及修改
注意:(1)画流程图的时候一定要清晰,用铅笔和直尺画,要养成有开始和结束的好习惯
拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程,反过来再检查,比如:遇到判断框时
往往临界的范围或者条件不好确定,就先给出一个临界条件,画好大致流程,然后检查这个条件是否正确,再考虑是否取等号的问题,这时候也就可以有几种书写方法了
(3)在输出结果时,如果有多个输出,一定要用流程线把所有的输出总结到一起,一起终结到结
束框
N
Y
A
p
YN
N
p
A
YN
A
B
p
A
B
直到型循环
当型循环
4、算法结构:顺序结构、选择结构、循环结构
(1)顺序结构(sequencestructure):是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制转移和重复执行的操作,一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的
(2)选择结构(selectionstructure):或者称为分支结构。其中的判断框,书写时主要是注意临界条件的确定。它有一个入口,两个出口,执行时只能执行一个语句,不能同时执行,其中的A,B两语句可以有一个为空,既不执行任何操作,只是表明在某条件成立时,执行某语句,至于不成立时,不执行该语句,也不执行其它语句