实数全章知识点例题练习.doc

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实数主要知识点
【无理数】(1)无限不循环小数叫做无理数;它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段,无理数的表现形式主要包含下列几种:(1)特殊意义的数,如:圆周率以及含有的一些数,如:2-,3等;(2)开方开不尽的数,如:等;(3)特殊结构的数:如:…(两个1之间依次多1个0)等。应当要注意的是:带根号的数不一定是无理数,如:等;无理数也不一定带根号,如:
(2)有理数与无理数的区别:(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数;(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数则不能写成分数形式。
练习:
(1)下列各数:①、②……、③、④π、⑤、⑥、⑦……(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、其中是有理数的有_____;是无理数的有______。(填序号)
(2)有五个数:…,…,-,,其中无理数有()个
A2B3C4D5
【平方根】如果一个数x的平方等于a,那么,这个数x就叫做a的平方根;也即,当时,我们称x是a的平方根,记做:。因此:
=0时,它的平方根只有一个,也就是0本身;
>0时,也就是a为正数时,它有两个平方根,且它们是互为相反数,通常记做:。
<0时,也即a为负数时,它不存在平方根。
练方是64,所以64的平方根是;
(2)的平方根是它本身。
【算术平方根】(1)如果一个正数x的平方等于a,即,那么,这个正数x就叫做a的算术平方根,记为:“”,读作,“根号a”,其中,a称为被开方数。特别规定:0的算术平方根仍然为0。
(2)算术平方根的性质:具有双重非负性,即:。
(3)算术平方根与平方根的关系:算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为:。
练习:
(1)若有意义,则___________。
(2)36的平方根是;的算术平方根是;
(3)的算术平方根是__________。
(4)有一个数的相反数、平方根、立方根都等于它本身,这个数是()。
A、-1B、1C、0D、±1
【立方根】(1)如果x的立方等于a,那么,就称x是a的立方根,或者三次方根。记做:,读作,3次根号a。注意:这里的3表示的是根指数。一般的,平方根可以省写根指数,但是,当根指数在两次以上的时候,则不能省略。
(2)平方根与立方根:每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根;但是,并不是每个数都有平方根,只有非负数才能有平方根。
练习:
(1)若,则b等于()
(2)下列说法中:①都是27的立方根,②,③的立方根是2,④。
其中正确的有()A、1个B、2个C、3个D、4个
实数实战:
知识点1平方根与算术平方根的特性(重点)
算术平方根与平方根的关系:算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为:。
算术平方根的性质:具有双重非负性,即:。
平方根的性质:一个数x的平方等于a,那么,这个数x就叫做a的平方根;也即,当时,我们称x是a的平方根,记做:。
【例题】16的平方根是64的算术平方根是的算术平方根是81的算术平方根的平方根是
练方根分别是m和m-4,则m的值是多少?这个正数是多少?
(2)如果A的平方根是2x-1与3x-4,求A的值?
(3)如果一个数的平方根是和,求这个数。
(4)已知:A=是的算术平方根,B=是的立方根。求A-B的平方根。
知识点2实数及其相反数、倒数、绝对值(重点)
。如、—3、、等都是实数。在实数中,没有最大的实数,也没有最小的实数;绝对值最小的实数是0,最大的负整数是-1,最小的正整数是1.
:实数的相反数与有理数的相反数意义一样。
①的相反数是—;②如果与互为相反数,则
如的相反数是—,
:①正实数的绝对值本身是它本身②一个负实数的绝对值是它的相反数③0的绝对值是0
用符号表示:,,,
:①的倒数是②0没有倒数③与互为倒数,则
【例题】填空⑴,的绝对值是
⑵的相反数是,的相反数是—4
⑶3的倒数是
⑷若与互为相反数,与互为倒数,的倒数等于它本身,则的值为
练习:
若|2x+1|与互为相反数,则-xy的平方根的值是多少?
已知与互为相反数,求x+y的平方根。
若m、n互为相反数,则=_________。
知识点3实数的运算(重点)
实数的运算顺序为:①先算乘方、开方;
②再算乘、除
③最后算加减
同级运算从左到右依次计算,有括号的要先算括号里面的。
【例题】计算:
⑴⑵
练习:计算
(1)(2)
(3)(4)
(5)(6)
(7)(8)
(9)求的平方根和算术平方根。(10)计算的值。
(11)(12)
(13)
化简题:
(1)
(2)
知识点4实数与数轴(重点)
【例题】如图,数轴上表示1,的对应点分别为A、B,点B与点C关于点A对称,设点C所表示的数为,求的值。
练习:如图,数轴上表示1、的对应点分别为A、B,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的数是()
A.---
知识点5实数的大小比较(重点)
⑴实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同:即正数大于0,0大于负数;正数大于负数;两个正数,绝对值大的就大,两个负数,绝对值大的反而小。(在数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大)。
⑵比较两个实数的大小关系常用三种方法:
①平方法:若,,,则
②把根号外的数移到根号内。如, 而,所以
③取倒数法:若,,且,则
【例题】比较大小(填“>”或“<”).,,,
练习:比较下列各数的大小、,—
测试:
(1)比较大小(2)比较大小
(3)=_____________。
(4)当时,化简;
考点归纳
考点1利用实数的相关概念求代数式的值。
【例题】已知、互为相反数,、互为倒数,求的值
练习:已知与互为相反数,求
考点2实数的非负性问题(一)
【例题】已知,求的值
练习:已知、为实数,,若,求的值。
测试:
1、已知是实数,且有,求的值.
2、若,求的值。
3、已知,求的值.
4、若+(3x+y-1)2=0,求的值
5、已知,则的值是()。
A、B、-C、D、
6、若a、b、c满足,求代数式的值。
7、已知,求7(x+y)-20的立方根。
8、
考点3实数的非负性问题(二)
【例题】已知,则等于多少
练习:已知,求的值
测试:
1、若y=则的值为多少
2、若,求的值.
3、若b=+2,求ba的值
考点4实数与数轴对应关系的应用
【例题】实数、、在数轴上的对应点如图所示,化简:的值
练习:实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示,化简:()
测试:
(1)实数a,b,c在数轴上的对应点如图所示
化简=________________。
0
y
x
z
(2)已知实数x、y、z在数轴上的对应点如图
试化简:。
考点5用实数知识解决实际问题
【例题】如图,将一块面积为30m2的正方形铁皮的四个角各截去一个面积为2m2的小正方形,剩下的部分刚好能围成一个无盖的长方体运输箱,求此运输箱底面的边长.()
练方厘米的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为300平方厘米的长方形纸片,使它的长宽之比为3:,:“别发愁,一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗?请说明理由.
考点6无理数的整数部分
【例题】若是的整数部分,是的整数部分,求的值
练习:若是是的整数部分,是的整数部分,求的值
测试:
(1)已知的整数部分为a,b是25的平方根,求ab的值.
(2)已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的平方根是±4,c是的整数部分,求a+2b+c的平方根.
(3)已知△ABC的三边分别是且满足,求c的取值范围。
(4)如果x、y分别是4-的整数部分和小数部分。求x-y的值.
(提高题)观察下列等式:回答问题:
①②③,……
(1)根据上面三个等式的信息,请猜想的结果;(2)请按照上式反应的规律,试写出用n表示的等式,并加以验证