高中文科数学立体几何知识点总结.doc

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直线和平面的三种位置关系:

符号表示:

符号表示:

符号表示:
平行关系:
线线平行:
方法一:用线面平行实现。
方法二:用面面平行实现。
方法三:用线面垂直实现。
若,则。
方法四:用向量方法:
若向量和向量共线且l、m不重合,则。
线面平行:
方法一:用线线平行实现。
方法二:用面面平行实现。
方法三:用平面法向量实现。
若为平面的一个法向量,且,则。
面面平行:
方法一:用线线平行实现。
方法二:用线面平行实现。
:
:
方法一:用线线垂直实现。
方法二:用面面垂直实现。
:
方法一:用线面垂直实现。
方法二:计算所成二面角为直角。
线线垂直:
方法一:用线面垂直实现。
方法二:三垂线定理及其逆定理。
方法三:用向量方法:
若向量和向量的数量积为0,则。
夹角问题。
异面直线所成的角:
(1)范围:
(2)求法:
方法一:定义法。
步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。
步骤2:解三角形求出角。(常用到余弦定理)
余弦定理:
(计算结果可能是其补角)
方法二:向量法。转化为向量的夹角
(计算结果可能是其补角):
线面角
(1)定义:直线l上任取一点P(交点除外),作PO于O,连结AO,则AO为斜线PA在面内的射影,(图中)为直线l与面所成的角。
(2)范围:
当时,或
当时,
(3)求法:
方法一:定义法。
步骤1:作出线面角,并证明。
步骤2:解三角形,求出线面角。
二面角及其平面角
(1)定义:在棱l上取一点P,两个半平面内分别作l的垂线(射线)m、n,则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。
(2)范围:
(3)求法:
方法一:定义法。
步骤1:作出二面角的平面角(三垂线定理),并证明。
步骤2:解三角形,求出二面角的平面角。
方法二:截面法。
步骤1:如图,若平面POA同时垂直于平面,则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。
步骤2:解三角形,求出二面角。
方法三:坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
步骤一:计算
步骤二:判断与的关系,可能相等或者互补。
距离问题。
。
方法一:几何法。
步骤1:过点P作PO于O,线段PO即为所求。
步骤2:计算线段PO的长度。(直接解三角形;等体积法和等面积法;换点法)
、面面距均可转化为点面距。

方法一:转化为线面距离。
如图,m和n为两条异面直线,且,则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。
方法二:直接计算公垂线段的长度。
方法三:公式法。
如图,AD是异面直线m和n的公垂线段,,则异面直线m和n之间的距离为:
A
B
C
D
空间向量
空间向量基本定理
若向量为空间中不共面的三个向量,则对空间中任意一个向量,都存在唯一的有序实数对,使得。
(二)三点共线,四点共面问题
,B,C三点共线
,且
当时,A是线段BC的
A,B,C三点共线
,B,C,D四点共面
,且
当时,A是△BCD的
A,B,C,D四点共面
(三)空间向量的坐标运算
、B两点的坐标分别为:
,则:
;
,
则
常见几何体的特征及运算
长方体
。
,则
若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为,则
、b、c,则体对角线长为,表面积为,体积为。
正棱锥:底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。
正棱柱:底面是正多边形的直棱柱。
正多面体:每个面有相同边数的正多边形,且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。
(只有五种正多面体)
棱锥的性质:平行于底面的的截面与底面相似,且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。
正棱锥的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。
体积:
球
:到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。
,小圆的半径为r,小圆圆心为O1,球心O到小圆的距离为d,则它们三者之间的数量关系是。
:经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。
:体积公式:
高考题典例
考点1点到平面的距离
例1如图,正三棱柱的所有棱长都为,为中点.
(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
解答过程(Ⅰ)取中点,连结.
为正三角形,.
A
B
C
D
O
F
正三棱柱中,平面平面,
,在正方形中,分别为的中点,,.
在正方形中,,平面.
(Ⅱ)设与交于点,在平面中,作于,连结,由(Ⅰ)得平面.,为二面角的平面角.
在中,由等面积法可求得,
又,.
所以二面角的大小为.
(Ⅲ)中,,.
在正三棱柱中,到平面的距离为.
设点到平面的距离为.
由,得,.
点到平面的距离为.
考点2异面直线的距离
例2已知三棱锥,底面是边长为的正三角形,棱的长为2,,求
CD与SE间的距离.
解答过程:如图所示,取BD的中点F,连结EF,SF,CF,
为的中位线,∥∥面,
的距离,设其为h,由题意知,,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点,
在Rt中,
在Rt中,
又由于,即,解得故CD与SE间的距离为.
考点3直线到平面的距离
,在棱长为2的正方体中,G是的中点,求BD到平面的距离.
B
A
C
D
O
G
H
思路启迪:把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解.
解答过程:解析一∥平面,
上任意一点到平面的距离皆为所求,以下求
点O平面的距离,
,,平面,
又平面平面,两个平面的交线是,
作于H,则有平面,即OH是O点到平面的距离.
在中,.
又.
即BD到平面的距离等于.
解析二∥平面,
上任意一点到平面的距离皆为所求,以下求点B平面的距离.
设点B到平面的距离为h,将它视为三棱锥的高,则
,
即BD到平面的距离等于.
小结:当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等,,;解析二是等体积法求出点面距离.
考点4异面直线所成的角
例4如图,在中,,,.
(I)求证:平面平面;
(II)求异面直线与所成角的大小.
解答过程:(I)由题意,,,
是二面角是直二面角,
,又,平面,
.
(II)作,垂足为,连结(如图),则,
是异面直线与所成的角.
在中,,,.
,.
异面直线与所成角的大小为.
小结:求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形,作法有:①平移法:在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二;②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系,,平移法是最常用的,:.
考点5直线和平面所成的角
,底面为平行四边形,,,,.
(Ⅰ)证明;(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小.
解答过程:(Ⅰ)作,垂足为,连结,由侧面底面,得底面.
D
B
C
A
S
因为,所以,
又,故为等腰直角三角形,,由三垂线定理,得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,依题设,
故,由,,,得,.的面积.
连结,得的面积
设到平面的距离为,由于,得,解得.
设与平面所成角为,则.
所以,直线与平面所成的我为.
小结:求直线与平面所成的角时,应注意的问题是(1)先判断直线和平面的位置关系;(2)当直线和平面斜交时,常用以下步骤:①构造——作出斜线与射影所成的角,②证明——论证作出的角为所求的角,③
计算——常用解三角形的方法求角,④结论——点明直线和平面所成的角的值.
考点6二面角
,已知直二面角,,,,A
B
C
Q
P
,,直线和平面所成的角为.(I)证明
(II)求二面角的大小.
A
B
C
Q
P
O
H
过程指引:(I)在平面内过点作于点,连结.
因为,,所以,
又因为,所以.
而,所以,,
从而,又,
,故.
(II)由(I)知,,又,,
,,连结,由三垂线定理知,.故是二面角的平面角.
由(I)知,,所以是和平面所成的角,则,
不妨设,则,.
在中,,所以,于是在中,.故二面角的大小为.
小结:,:①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱,②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱,③补形构造几何体发现棱;解法二则是利用平面向量计算的方法,这也是解决无棱二面角的一种常用方法,即当二面角的平面角不易作出时,可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.