讲座能量泄漏以及窗函数(与“函数”有关的文档共26张).pptx

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可以看出100Hz波形与采样点正弦曲线吻合,而另外两个频率的曲线误差较大,而真正采样后的曲线是三个虚线的叠加,于是高频信号的采样值就构成虚假的低频信号附加到原低频的采样值上,从而产生频率混淆现象。
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为避免混叠,就要将连续信号的频谱进行截断,设其截断频率为。即使
,
所选截断频率应是欲分析的最高频率fmax。当然其频谱图中频率的最大值应大于fc
即
这样进行采样就无频率混叠(淆),这就是所谓的采样定理(Shannon定理)。即要达到频率不混叠,只需采样频率大于等于2倍的最高频率,也即只需一个周期中采两个或两个以上的点即可没有频率混叠,从而得到准确的频谱。
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△t——采样时间间隔;fs——采样频率(fs=1/△t);
N——总的采样点数;T——总采样时间,T=N×△t;
Fmax——信号中的最高频率。
有以下关系
因此基于采样定理,有
该式建立起了最短采样时间、最大采样间隔、采样点数及分析频率之间的关系。先有仪器,往往N固定为1024.
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谱窗、泄漏以及平滑
一、有限数据的傅立叶变换
在工程实际中,实际获得的信号长度是有限的,该有限长度的信号可被认为是无限长信号乘以单位矩形函数获得的:
根据傅立叶变换的卷积定理(两函数乘积的傅立叶变换等于其傅里叶变换的卷积):
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设某信号为一无限长余弦信号,以此为例进行泄漏分析。
其傅立叶变换为
单位矩形函数——矩形窗函数b(t)的表达式为
其傅立叶变换为
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这样我们取[-τ,+τ]内的有限长余弦信号就相当于使用上述的矩形窗函数与无限长余弦函数相乘,于是该有限长余弦信号的傅里叶变换为:
得到的图形见右。
可见,其频谱不是两条谱线了,而是发生了畸变,原来集中在f0处的能量被分散到较宽的频带上了,这种现象叫做泄漏。若仅仅从频谱上分析信号的频率组成,必然导致误差。出现泄漏的原因是,窗函数的频谱是连续谱,且包含一个主瓣和无数旁瓣,这样进行卷积时导致主瓣的能量被转移到旁瓣中去了。
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二、谱窗以及泄漏
谱窗
从有限长度样本得到的谱密度原始估计值(区别于后述的经平滑处理的估计值)用下式计算
式中——相关函数的最大时移。
上式是用有限区间的积分来估计由式所定义的真实谱密度。可以把看成是在[-,]区间截断的结果。这种截断必然导致误差的产生,是谱处理时必须考虑的一个问题。
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U(τ)为矩形函数
当然其傅立叶变换为
根据傅氏变换的卷积定理,有
可写成
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把矩形函数称为窗函数,它在时域上的称为矩形时移窗(时域窗)。在频域上称为矩形谱窗。时移窗和谱窗互为傅氏变换。
泄漏的概念
谱密度处理时,矩形窗函数的存在,使相对于产生畸变。例如,设正弦函数的自相关函数为
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