能量泄漏，窗函数.doc

能量泄漏, 信号截断及能量泄漏效应  数字信号处理的主要数学工具是傅里叶变换。应注意到,傅里叶变换是研究整个时间域和频率域的关系。然而,当运用计算机实现工程测试信号处理时,不可能对无限长的信号进行测量和运算,而是取其有限的时间片段进行分析。做法是从信号中截取一个时间片段,然后用观察的信号时间片段进行周期延拓处理,得到虚拟的无限长的信号,然后就可以对信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。 -1 周期延拓后的信号与真实信号是不同的,下面从数学的角度来看这种处理带来的误差情况。设有余弦信号x(t)在时域分布为无限长(-∞,∞),当用矩形窗函数w(t)与其相乘时,得到截断信号xT(t)=x(t)w(t)。根据博里叶变换关系,余弦信号的频谱X(ω)是位于ω。处的δ函数,而矩形窗函数w(t)的谱为sinc(ω)函数,按照频域卷积定理,则截断信号xT(t)的谱XT(ω) 应为将截断信号的谱XT(ω)与原始信号的谱X(ω)相比较可知,它已不是原来的两条谱线,而是两段振荡的连续谱。这表明原来的信号被截断以后,其频谱发生了畸变,原来集中在f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了,这种现象称之为频谱能量泄漏(Leakage)。 读者注:(这是以正弦信号为例,正弦信号的的频谱为两条线,一个而矩形窗函数w(t)的谱为sinc(ω)函数,在时域,是截取,在频域,频谱畸变了)信号截断以后产生的能量泄漏现象是必然的,因为窗函数w(t)是一个频带无限的函数,所以即使原信号x(t)是限带宽信号,而在截断以后也必然成为无限带宽的函数,即信号在频域的能量与分布被扩展了。又从采样定理可知,无论采样频率多高,只要信号一经截断,就不可避免地引起混叠,因此信号截断必然导致一些误差,这是信号分析中不容忽视的问题。 读者注:(Nyquist律:采样高于信号频率两倍,但是截取导致了很多高频的分量)怎么办,怎么改进这个问题呢?????????????????????????????如果增大截断长度T,即矩形窗口加宽,则窗谱W(ω)将被压缩变窄(π/T减小)。虽然理论上讲,其频谱范围仍为无限宽,但实际上中心频率以外的频率分量衰减较快,因而泄漏误差将减小。当窗口宽度T趋于无穷大时,则谱窗W(ω)将变为δ(ω)函数,而δ(ω)与X(ω)的卷积仍为H(ω),这说明,如果窗口无限宽,即不截断,就不存在泄漏误差。 为了减少频谱能量泄漏,可采用不同的截取函数对信号进行截断,截断函数称为窗函数,简称为窗。泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关,如果两侧p旁瓣的高度趋于零,而使能量相对集中在主瓣,就可以较为接近于真实的频谱,为此,在时间域中可采用不同的窗函数来截断信号。 ,可分为以下主要类型:幂窗:采用时间变量某种幂次的函数,如矩形、三角形、梯形或其它时间函数x(t)的高次幂;三角函数窗:应用三角函数,即正弦或余弦函数等组合成复合函数,例如汉宁窗、海明窗等; 指数窗。。:采用指数时间函数,如e-st形式,例如高斯窗等。(l)矩形窗  矩形窗属于时间变量的零次幂窗,函数形式为相应的窗谱为矩形窗使用最多,习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中,缺点是旁瓣较高,并有负旁瓣(下图所示),导致变换中带进了高频干扰和泄漏,甚至出现负谱现象。-3(