高一数学必修2知识点总结.doc

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一、直线与方程
(1)直线的倾斜角
定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与
x轴平行或重合时,我们规定它的
倾斜角为0度。所以,倾斜角的取值范围是
0°≤α<180°
(2)直线的斜率
①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用
k表示。即ktan。
斜率反响直线与轴的倾斜程度。
当
0,90时,k0;
当
90,180时,k0;当90
时,k不存在。
②过两点的直线的斜率公式:
k
y2
y1
(x1x2)
x2
x1
注意下边四点:(1)当x1
x2时,公式右侧无心义,直线的斜率不存在,倾斜角为
90°;
k与P1、P2的序次没关;(3)今后求斜率可不经过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率获取。
3)直线方程
①点斜式:y
y1
k(x
x1)直线斜率k,且过点
11
x,y
注意:当直线的斜率为
0°时,k=0,直线的方程是
y=y1。
l上每一点的横坐标都等于
当直线的斜率为
90°时,直线的斜率不存在,
1,所以它的方程是
x=x1。
x
k,直线在y轴上的截距为
b
②斜截式:y
kx
b,直线斜率为
③两点式:
y
y1
x
x1(x1
x2,y1
y2)直线两点
x1,y1
,x2,y2
y2
y1
x2
x1
④截矩式:x
y
1
a
b
此中直线l与x轴交于点
(a,0),与y轴交于点(0,b),即l
与x轴、y轴的截距分别为a,b。
⑤一般式:Ax
By
C
0(A,B不全为0)
1
2
注意:○各式的适用范围
○特别的方程如:
平行于x轴的直线:y
b(b为常数);
平行于y轴的直线:xa(a为常数);
5)直线系方程:即拥有某一共同性质的直线
(一)平行直线系
平行于已知直线
A0x
B0y
C0
0(A0,B0是不全为0的常数)的直线系:A0xB0yC
0(C为常数)
(二)过定点的直线系
(ⅰ)斜率为k的直线系:y
y0
kx
x0
,直线过定点
x0,y0;
(ⅱ)过两条直线
l
1
:
Ax
By
C
0
,l
2
:Ax
By
C
2
0的交点的直线系方程为
1
1
1
2
2
A1xB1y
C1
A2xB2y
C2
0(
为参数),此中直线l2不在直线系中。
(6)两直线平行与垂直
当l1:yk1x
b1,l2:yk2x
b2时,
l1//l2
k1
k2,b1
b2;l1
l2
k1k2
1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。
(7)两条直线的交点
l1:A1xB1yC1
0
l2:A2xB2yC2
0订交
交点坐标即方程组
A1x
B1y
C1
0的一组解。
A2x
B2y
C2
0
方程组无解
l1//l2;
方程组有无数解
l1与l2
重合
(8)两点间距离公式:
设A(x1,y1),(B
x2,y2)是平面直角坐标系中的两个点,
第1页
则|AB|(x2x1)2
(y2y1)2
(9)点到直线距离公式:
一点Px0,y0
到直线l1:AxByC
0
Ax0By0C
的距离d
B2
A2
10)两平行直线距离公式
在任向来线上任取一点,再转变成点到直线的距离进行求解。
二、圆的方程
1、圆的定义:平面内到必定点的距离等于定长的点的会集叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。
2、圆的方程
a2
b2
(1)标准方程
x
y
r2,圆心a,b,半径为r;
(2)一般方程x2
y2
Dx
Ey
F
0
当D2
E2
4F
0时,方程表示圆,此时圆心为
D,
E
,半径为r
1
D2
E2
4F
2
2
2
当D2
E2
4F
0时,表示一个点;
当D2
E2
4F
0时,方程不表示任何图形。
3)求圆方程的方法:
一般都采纳待定系数法:先设后求。确立一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
别的要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确立圆心的地址。
3、直线与圆的地址关系:
直线与圆的地址关系有相离,相切,订交三种状况,基本上由以下两种方法判断:
(1)设直线l:Ax
By
C
2
2
r2,圆心Ca,b到l的距离为d
Aa
BbC,则有
0,圆C:xa
y
b
A2
dr
l与C相离;d
B2
r
l与C相切;d
r
l与C订交
(2)设直线l:Ax
By
C0
,圆C:xa2
y
b2
r2,先将方程联立消元,获取一个一元二次方程以后,
令此中的鉴识式为
,则有
0
l与C相离;
0
l与C相切;
0
r2
l与C订交
x0,y0
注:假如圆心的地址在原点,可使用公式xx0
yy0
去解直线与圆相切的问题,此中
表示切点坐标,
r表示半径。
(3)过圆上一点的切线方程:
yy0r2
①圆x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为
xx0
(课本命题).
2
2
2
,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为
2
课本命题的推行).
②圆(x-a)+(y-b)=r
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r(
4、圆与圆的地址关系:经过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确立。
2
yb1
2
2
yb2
2
R2
设圆C1:xa1
r2
,C2:xa2
两圆的地址关系常经过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确立。
当dRr时两圆外离,此时有公切线四条;
当dRr时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;
当RrdRr时两圆订交,连心线垂直均分公共弦,有两条外公切线;当dRr时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;
当dRr时,两圆内含;当d0时,为齐心圆。
三、立体几何初步
1、柱、锥、台、球的构造特色
第2页
1)棱柱:定义:有两个面相互平行,其他各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,由这些面所围成的几何体。
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:用各极点字母,如五棱柱ABCDEA'B'C'D'E'或用对角线的端点字母,如五棱柱AD'
几何特色:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截
面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥
定义:有一个面是多边形,其他各面都是有一个公共极点的三角形,由这些面所围成的几何体分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示:用各极点字母,如五棱锥PA'B'C'D'E'
几何特色:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于极点到截面距离与高的比的平
方。
3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示:用各极点字母,如五棱台PA'B'C'D'E'
几何特色:①上下底面是相似的平行多边形
②侧面是梯形
③侧棱交于原棱锥的极点
4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其他三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特色:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面睁开图是一个矩形。
5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特色:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的极点;③侧面睁开图是一个扇形。
6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分
几何特色:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的极点;③侧面睁开图是一个弓形。
7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特色:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图
定义三视图:正视图(光辉从几何体的前面向后边正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)
注:正视图反响了物体上下、左右的地址关系,即反响了物体的高度和长度;俯视图反响了物体左右、前后的地址关系,即反响了物体的长度和宽度;侧视图反响了物体上下、前后的地址关系,即反响了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特色:①本来与x轴平行的线段依旧与x平行且长度不变;
②本来与y轴平行的线段依旧与y平行,长度为本来的一半。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
2)特别几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,h'为斜高,l为母线)
S直棱柱侧面积
ch
S圆柱侧
2rh
S正棱锥侧面积
1ch'
S圆锥侧面积
rl
1
2
正棱台侧面积
(c1c2)h'
S圆台侧面积(r
R)l
S
2
2
2
S圆柱表2
r
r
l
圆锥表
圆台表
rlRlR
S
rr
l
(3)柱体、锥体、台体的体积公式
第3页
V柱
Sh
V圆柱
Sh
2
rhV锥
1
V圆锥
1
r2h
Sh
3
3
V台
1(S'
S'SS)h
V圆台
1
'
'
1
2
2
(S
SSS)h
(r
rRR)h
3
3
3
(4)球体的表面积和体积公式:
V球=4
R3;S球面=4R2
3
4、空间点、直线、平面的地址关系
(1)平面
①平面的看法:
;
;
②平面的表示:平时用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(平时写在一个锐角内);
也可以用两个相对极点的字母来表示,如平面
BC。
③点与平面的关系:
点A在平面
内,记作A
;点A不在平面
内,记作A
点与直线的关系:
点A的直线l上,记作:A∈l;
点A在直线l外,记作A
l;
直线与平面的关系
:直线l
在平面α内,记作l
α;直线l不在平面α内,记作lα。
2)公义1:假如一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是全部的点都在这个平面内。(即直线在平面内,也许平面经过直线)
应用:检验桌面能否平;判断直线能否在平面内
用符号语言表示公义1:Al,Bl,A,Bl
(3)公义2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论:向来线和直线外一点确立一平面;两订交直线确立一平面;两平行直线确立一平面。
公义2及其推论作用:①它是空间内确立平面的依照②它是证明平面重合的依照
4)公义3:假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号:平面α和β订交,交线是a,记作α∩β=a。
符号语言:PABABl,Pl
公义3的作用:
①它是判断两个平面订交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依照。
5)公义4:平行于同一条直线的两条直线相互平行
6)空间直线与直线之间的地址关系
①异面直线定义:不一样在任何一个平面内的两条直线
②异面直线性质:既不平行,又不订交。
③异面直线判断:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内但是该店的直线是异面直线
④异面直线所成角:直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a’∥a,b’∥b,则把直线a’和b’所
成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线
所成的角是直角,我们就说这两条异面直线相互垂直。
说明:(1)判断空间直线是异面直线方法:①依据异面直线的定义;②异面直线的判判定理
(2)在异面直线所成角定义中,空间一点O是任取的,而和点O的地址没关。
②求异面直线所成角步骤:
A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特别的地址,极点选在特别的地址上。B、
第4页
证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角
7)等角定理:假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补。
8)空间直线与平面之间的地址关系
直线在平面内——有无数个公共点.
三种地址关系的符号表示:aαa∩α=Aa∥α
9)平面与平面之间的地址关系:平行——没有公共点;α∥β
订交——有一条公共直线。α∩β=b
5、空间中的平行问题
(1)直线与平面平行的判断及其性质
线面平行的判判定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
线线平行线面平行
线面平行的性质定理:假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面订交,
那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行
2)平面与平面平行的判断及其性质两个平面平行的判判定理
1)假如一个平面内的两条订交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行(线面平行→面面平行),
2)假如在两个平面内,各有两组订交直线对应平行,那么这两个平面平行。
(线线平行→面面平行),
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行,
两个平面平行的性质定理
(1)假如两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。(面面平行→线面平行)
(2)假如两个平行平面都和第三个平面订交,那么它们的交线平行。(面面平行→线线平行)
7、空间中的垂直问题
1)线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直:假如两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线相互垂直。②线面垂直:假如一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直。③平面和平面垂直:假如两个平面订交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所构成的图形)是直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直。
2)垂直关系的判断和性质定理
①线面垂直判判定理和性质定理
判判定理:假如一条直线和一个平面内的两条订交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。性质定理:假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。②面面垂直的判判定理和性质定理
判判定理:假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直。
性质定理:假如两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
9、空间角问题
1)直线与直线所成的角①两平行直线所成的角:规定为0。②两条订交直线所成的角:两条直线订交此中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角。
③两条异面直线所成的角:过空间任意一点
O,分别作与两条异面直线
a,b平行的直线a,
b,形成两条订交直
线,这两条订交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
(2)直线和平面所成的角
0。②平面的垂线与平面所成的角:规定为90
①平面的平行线与平面所成的角:规定为
。
③平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的
角。
求斜线与平面所成角的思路近似于求异面直线所成角:“一作,二证,三计算”。
在“作角”时依定义要点作射影,由射影定义知要点在于斜线上一点到面的垂线,
在解题时,注意发掘题设中两个主要信息:(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。
第5页
面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的
..
...
3)二面角和二面角的平面角①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所构成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平
面叫做二面角的面。
②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为极点,在两个角叫二面角的平面角。③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。
两订交平面假如所构成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,假如两个平面垂直,那么所成的二
面角为直二面角
④求二面角的方法
定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线获取平面角
垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角7、空间直角坐标系
(1)定义:如图,OBCD
D,A,B,C,,
分别以OD,O,
,OB的方向为正方向,建立三条数轴
。
A
这时建立了一个空间直角坐标系
Oxyz.
1)O叫做坐标原点
2)x
轴,y轴,
)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。
(2)右腕表示法:
令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的地址。大拇指指向为
x轴正方向,食指指
向为y轴正向,中指指向则为
z轴正向,这样也可以决定三轴间的相地址。
(3)任意点坐标表示:空间一点M的坐标可以用有序实数组
(x,y,z)来表示,有序实数组
(x,y,z)叫做点M在此空
间直角坐标系中的坐标,记作
M(x,y,z)(x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标)
(4)空间两点距离坐标公式:
d(x2x1)2
(y2
y1)2
(z2z1)2
第6页