单位圆与三角函数线
由三角函数的定义我们知道,对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的,或者说是用数来表示的,今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法
一般地,我们把半径为1的圆叫做单位圆,设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与x轴的交点分别为
A(1,0),A’(-1,0).
而与y轴的交点分别为
B(0,1),B’(0,-1).
带有方向的线段叫有向线段;
有向线段的数值由其长度大小和方向来决定。
如在数轴上,|OA|=3,|OB|=3
=3
=-3
设任意角α的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点P(x,y),过P作x轴的垂线,垂足为M; 做PN垂直y轴于点N,
则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影.
3. 三角函数线
根据三角函数的定义有点P的坐标为(cosα,sinα)
其中cosα=OM,sinα=ON.
这就是说,角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标.
过点A作轴的垂线与α角的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T ’),则tanα=AT(或AT ’)
我们把向量分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线.
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
α的终边
α的终边
α的终边
α的终边
T
P
M
P
M
P
M
P
M
T
A
A
T
A
T
A
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
(Ⅳ)
特殊情况:
①当角的终边在x轴上时,点P与点M重合,点T与点A重合,这时正弦线与正切线都变成了一点,数量为零,而余弦线OM=1或-1。
②当角的终边在y轴上时,正弦线MP=1或-1余弦线变成了一点,它表示的数量为零,正切线不存在。
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