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铁路桥涵过渡段的讨论
一、概述
随着设计标准的提高,现国铁Ⅱ级铁路也要求设置桥涵过渡段,这样“过渡段”设
计已成较普遍的要求。
客专和国铁Ⅰ、Ⅱ桥涵的过渡段设置长度L一般在20m左右,大多数情况下,在
这范围内地形变化应该不大,线路纵坡的变化也有限,所以可以将地面和路基面在这20m左右的范围内视作相互平行的水平面。
以往桥台台背后或涵洞边墙后的路基过渡段常采用二种型式,即所谓“正梯形”过
渡段(TB10001-2005“路规”)和“倒梯形”过渡段(TB10621-2009“高铁”)。这二种过渡段的空间展布见“图1过渡段示意图”。
根据图1绘制的下图2即分别为正、倒梯形过渡段的平面图:
由图1和图2综合分析,正梯形过渡段更形似棱台,但并不一定就是数学意义上所
定义的棱台,因为这二个平行的顶、底面矩形并不一定是“相似形”(若确实相似或均为正方形或圆形,则为四棱台或圆台)。故求其体积就不能贸然采用棱台公式,而应采用所谓的“梯形体”求积公式,或者将正梯形过渡段这一六面几何体分割成若干个最基本的棱柱、棱锥体求积再求和。
但是图2右侧的倒梯形过渡段外形就很不一样,用棱台体积公式显然不行,能否用
“梯形体”公式,则应加以证明的过程。若将它分割成若干个最基本的棱柱、棱锥体求积再求和则是最可靠的办法。
二、四棱台和梯形体
为讨论比较的方便,在此将棱台或梯形体顶、底面顺线路方向的边长分别标记为
a1和a2,而横断面方向的边长分别标记为b1和b2;二平行顶、底面间的距离(高)标记为h。
由此,顶、底面的矩形面积分别为F1=a1·b1和F2=a2·b2。
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棱台的体积公式:V棱=3h(F1+F2+ 12······························(1)
至于“梯形体”的体积公式之推导,据有关资料介绍是先将梯形体切割成中间矩形
体(四棱柱)①、四边三棱柱②~⑤、四个角上为四棱锥⑥~⑨,分别计算这九块体积
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然后相加。所得体积公式为:
V梯=6h a1·b1+a2·b2+ a1+a2 b1+b2 ························(2)
为便于相互比较,现将(1)和(2)二式分别变化如下:
V棱=3h(a1·b1+a2·b2+ 1122
=6h(2a1·b1+2a2·b2+2 1122··························(3) V梯=h(a1·b1+a2·b2+a1·b1+a1·b2+a2·b1+a2·b2) 61111
=h(2a1·b1+2a2·b2+a1·b2+a2·b1) ·······················(4) 61 对比(3)和(4),不难看出二者的区别在于括号内(3)式的“2 a1122”
项和(4)式内的“a1·b2+a2·b1”项。
根据数学中的“绝对不等式”
a+b2≥(a和b均为正值)
即 a+b≥2 将a1·b2和a2·b1分别设定为a=a1·b2和b=a2·b1,则应
a1·b2+a2·b1≥2 1122····································(5) 该式“≥”中的“=”情况,只有a1·b2=a2·b1时才能成立,亦即a1=b122ab
底面为相似矩形时(5)式才能相等,进而(3)式=(4)式。此时,该六面体实际上已为棱台,所以“梯形体”体积公式(4)或(2)中包括了“四棱台”这一特殊情况。若a1·b2≠a2·b1,则a1·b2+a2·b1>2 1122,说明该“梯形体”虽形
似棱台而实非棱台的六面体,若误用棱台公式来求其体积的话,则较该“梯形体”本来应有的体积肯定偏小(前述已予证明)
,且顶、底面对应边比值相差越大,其体积差值
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也越大。
三、过渡段体积
根据前图2中的两种情况,分别推导如下。
1. 正梯形过渡段
按图中的1~1',2~2',3~3'垂直三刀切割下去后,结合图1可得到如下四块几何体: 梯形棱柱块 V1=
三角形棱柱块 V2=b1+b22×h×a1 ×h×b1 (a2?a1)2
二个底面为矩形的四棱锥合成一个大四棱锥
V3= b2?b1 (a2?a1) 3h V正= b1+b2 h·a1+ a2?a1 h·b1+h b2?b1 (a2?a1) 223111 =h[3a1(b1+b2)+3b1 a2?a1 +2 b2?b1 a2?a1 ] 6
11 =6h[3a1·b1+3a1·b2+3a2·b1?3a1·b1+2a2·b2?2a1·b2?2a2·b1+
2a1·b1]
=6h 2a1·b1+a1·b2+a2·b1+2a2·b2