计算方法-插值方法课件.ppt

该【计算方法-插值方法课件 】是由【luyinyzhi】上传分享，文档一共【33】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【计算方法-插值方法课件 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。计算方法
光信息
插值方法
插值多项式定义
插值多项式的存在唯一性
插值余项
基函数构造拉氏插值多项式
计算机实现
分段线性插值
其它插值方法介绍
引例及问题综述
引例1血药浓度问题
为试验某种新药的疗效,医生对某人用快速静脉注射方
式一次注入该药300mg后,在一定时间t(h)采取血样,测
得血药浓度C数据如下
试确定血药浓度C与时间t的函数关系。
引例及问题综述
在生产实际及科学研究中,经常要研究变量之间的函数
关系y=f(x)。若f(x)的表达式很复杂,或f(x)只能用一张
数据表来表示,即只知道f(x)在一系列点x0、x1、…xn
处的函数值:
这都会给研究带来困难。如何解决这类问题?当函数f(x)
比较复杂或根本无法写出解析式时,往往寻求用一个熟悉的
简单函数P(x)的去近似表示f(x),将研究f(x)的问题转化为
研究函数P(x)的问题。
X
X0
X1
…
Xn
F(x)
F(x0)
F(x1)
…
F(xn)
插值/*Interpolation*/
当精确函数y=f(x)非常复杂或未知时,在一系列节点x0…xn处测得函数值y0=f(x0),…yn=f(xn),由此构造一个简单易算的近似函数g(x)f(x),满足条件g(xi)=f(xi)(i=0,…n)。这里的g(x)称为f(x)的插值函数。最常用的插值函数是…?
多项式
x0
x1
x2
x3
x4
x
g(x)f(x)
定理
(唯一性)满足的n阶插值多项式是唯一存在的。
证明:(-106利用Vandermonde行列式论证)
反证:若不唯一,则除了Ln(x)外还有另一n阶多项式Pn(x)满足Pn(xi)=yi。
考察则Qn的阶数
n
而Qn有个不同的根
n+1
x0…xn
注:若不将多项式次数限制为n,则插值多项式不唯一。
例如也是一个插值多项式,其中可以是任意多项式。
这样的插值多项式是否存在并且唯一呢?对此,有如下结论:
n1
希望找到li(x),i=0,…,n使得li(xj)=ij;然后令

=
=
n
i
i
i
n
y
x
l
x
P
0
)
(
)
(
,则显然有Pn(xi)=yi。
li(x)
每个li有n个根x0…xi…xn

=
-
=
-
-
-
=
n
j
ji
j
i
n
i
i
i
x
x
C
x
x
x
x
x
x
C
x
l
0
0
)
(
)
)...(
)...(
(
)
(

-
=
=
ji
j
i
i
i
i
x
x
C
x
l
)
(
1
1
)
(
LagrangePolynomial
与有关,而与无关
节点
f
插值余项
作为的近似一定存在误差,用来表示它的截断误差,也称之为余项。下面,我们导出其具体表达形式。
【定理2】设在[a,b]上连续,在(a,b)内存在,节点,是满足插值条件()的插值多项式,则对任何,插值余项
注:通常不能确定x,而是估计,x(a,b)
将作为误差估计上限。
当f(x)为任一个次数n的多项式时,,可知,即插值多项式对于次数n的多项式是精确的。
Quiz:给定xi=i+1,i=0,1,2,3,4,(x)的图像?
y
0
-
-
-
1

-

1
2
3
4
5
6
x
y
0
-
-
-
1

-

1
2
3
4
5
6
x
y
0
-
-
-
1

-

1
2
3
4
5
6
x
A
B
C

n=2
)
18
5
(
50
sin
2
0


p
L

sin50=…
2次插值的实际误差
高次插值通常优于低次插值
但绝对不是次数越高就越好,嘿嘿……