计算方法-插值方法课件.ppt

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光信息
插值方法
插值多项式定义
插值多项式的存在唯一性
插值余项
基函数构造拉氏插值多项式
计算机实现
分段线性插值
其它插值方法介绍
引例及问题综述
引例1血药浓度问题
为试验某种新药的疗效,医生对某人用快速静脉注射方
式一次注入该药300mg后,在一定时间t(h)采取血样,测
得血药浓度C数据如下
试确定血药浓度C与时间t的函数关系。
引例及问题综述
引例2:标准正态分布函数
引例及问题综述
在生产实际及科学研究中,经常要研究变量之间的函数
关系y=f(x)。若f(x)的表达式很复杂,或f(x)只能用一张
数据表来表示,即只知道f(x)在一系列点x0、x1、…xn
处的函数值:
这都会给研究带来困难。如何解决这类问题?当函数f(x)
比较复杂或根本无法写出解析式时,往往寻求用一个熟悉的
简单函数P(x)的去近似表示f(x),将研究f(x)的问题转化为
研究函数P(x)的问题。
X
X0
X1
…
Xn
F(x)
F(x0)
F(x1)
…
F(xn)
定理
(唯一性)满足的n阶插值多项式是唯一存在的。
证明:(-106利用Vandermonde行列式论证)
反证:若不唯一,则除了Ln(x)外还有另一n阶多项式Pn(x)满足Pn(xi)=yi。
考察则Qn的阶数
n
而Qn有个不同的根
n+1
x0…xn
注:若不将多项式次数限制为n,则插值多项式不唯一。
例如也是一个插值多项式,其中可以是任意多项式。
这样的插值多项式是否存在并且唯一呢?对此,有如下结论:
拉格朗日多项式/*LagrangePolynomial*/
n
i
y
x
P
i
i
n
,
...
,
0
,
)
(
=
=
求n次多项式使得
条件:无重合节点,即
n=1
已知x0,x1;y0,y1,求
使得
1
1
1
0
0
1
)
(
,
)
(
y
x
P
y
x
P
=
=
可见P1(x)是过(x0,y0)和(x1,y1)两点的直线。
)
(
)
(
0
0
1
0
1
0
1
x
x
x
x
y
y
y
x
P
-
-
-
+
=
1
0
1
x
x
x
x
-
-
0
1
0
x
x
x
x
-
-
=y0+y1
l0(x)
l1(x)

=
=
1
0
)
(
i
i
i
y
x
l
称为拉氏基函数/*LagrangeBasis*/,
满足条件li(xj)=ij/*KroneckerDelta*/
插值余项
作为的近似一定存在误差,用来表示它的截断误差,也称之为余项。下面,我们导出其具体表达形式。
【定理2】设在[a,b]上连续,在(a,b)内存在,节点,是满足插值条件()的插值多项式,则对任何,插值余项
注:通常不能确定x,而是估计,x(a,b)
将作为误差估计上限。
当f(x)为任一个次数n的多项式时,,可知,即插值多项式对于次数n的多项式是精确的。
Quiz:给定xi=i+1,i=0,1,2,3,4,(x)的图像?
y
0
-
-
-
1

-

1
2
3
4
5
6
x
y
0
-
-
-
1

-

1
2
3
4
5
6
x
y
0
-
-
-
1

-

1
2
3
4
5
6
x
A
B
C

例:已知
分别利用sinx的1次、2次Lagrange插值计算sin50
并估计误差。
解:
n=1
分别利用x0,x1以及x1,x2计算
利用
这里
而
sin50=…
)
18
5
(
50
sin
1
0


p
L

外推/*extrapolation*/的实际误差
利用
sin50,
内插/*interpolation*/的实际误差
内插通常优于外推。选择要计算的x所在的区间的端点,插值效果较好。