函数图像变换与旋转.docx

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函数图像变换与旋转
:
1.
y=f(x)→y=f(x±a)(a>0)
原图像横向平移
a个单位(左+右-)
2.
y=f(x)→y=f(x)
±b(b>0)
原图像纵向平移
b个单位(上+下-)
=f(x)的图像右移
a,上移b个单位,获得函数
y=f(x-a)+b
:
1.
y=f(x)→y=f(-x)
原图像与新图像对于
y轴对称;
对照:若f=(-x)=f(x)
则函数自己的图像对于
y轴对称;
2.
y=f(x)→y=-f(x)
原图像与新图像对于
x轴对称;
3.
y=f(x)→y=-f(-x)
原图像与新图像对于原点对称;
对照:若f(-x)=-f(x)
则函数自己的图像对于原点对称;
4.
y=f(x)→y=f-1(x)
原图像与新图像对于直线
y=x对称;
5.
y=f(x)→y=f-1(-x)
原图像与新图像对于直线
y=-x对称;
6.
y=f(x)→y=f(2a-x)
原图像与新图像对于直线
x=a对称;
7.
y=f(x)→y=2b-f
(x)
原图像与新图像对于直线
y=b对称;
8.
y=f(x)→y=2b-f
(2a-x)
原图像与新图像对于点(
a,b)对称;
:
1.
y=f(x)→y=f(|
x|)的图像在y轴右边(x>0)的部分与
y=f(x)的图像同样,在y
轴的左边部分与其右边部分对于
y轴对称;
y=f(x)→y=|f(x)|的图像在x轴上方部分与y=f(x)的图像同样,其余部分图像为
y=f(x)图像下方部分对于x轴的对称图像;
=f(x)→y=f(|x+a|)变换步骤:
法1:先平移|a|个单位(左+右-)保存直线x=a右边图像,后去掉直线x=a左边图像并
作对于直线x=a对称图像y=f(x)→y=f(x+a)→y=f(|x+a|)
法2:先保存y轴右边图像,去掉y轴左边图像,并作对于y轴对称图像,后平移|a|个
单位(左+右-)y=f(x)→y=f(|x|)→y=f(|x+a|)
:
=f(x)→y=af(x)(a>0)原图像上全部点的纵坐标变成本来的a倍,横坐标不变;
.
.
=f(x)→y=f(ax)(a>0)原图像上全部的横坐标变成本来的,纵坐标不变;
:
函数自己对称性之轴对称:
1).若f(x)=f(2a-x)(或f(a+x)=f(a-x)或f(-x)=f(2a+x))则函数自己对于直线x=a对称;
(2).若y=f(x)的图像对于直线对称等价于f(a+mx)=f(b-mx)等价于
(a+b-mx)=f(mx);
函数自己对称性之中心对称:
(1).若f(mx+a)=-f(b-mx),则函数自己对于点(,0)对称;
(2).若f(mx+a)+f(b-mx)=c,则函数自己对于点(,)对称;
(3).若f(a+x)+f(a-x)=2b(或f(x)+f(2a-x)=2b或f(-x)+f(2a+x)=2b
则函数自己对于点(a,b)对称;
:
(1).函数y=f(a+x),y=f(b-x)的图像对于直线对称;
推论:函数
函数
函数
特例:函数

y=f(a+x)与f(a-x)的图像对于直线x=0对称;
y=f(x)与y=f(2a-x)的图像对于直线x=a对称;
y=f(-x)与y=f(2a+x)的图像对于直线x=-a对称;
y=f(a+x),y=f(a-x)的图像对于直线x=0对称;
(2).函数y=f(a+x),y=-f(b-x)的图像对于点(,0)对称;
特例:函数y=f(a+x)与y=-f(a-x)对于原点中心对称
抽象函数的对称性:
(1).性质一:若函数y=f(x)对于直线x=a轴对称,则以下三个时式子建立切等价:
f(a+x)=f(a-x);f(2a-x)=f(x);f(2a+x)=f(-x);
(2).性质二:若函数y=f(x)对于点(a,0)中心对称,则以下三个式子建立且等价:
.
.
f(a+x)=-f(a-x);f(2a-x)=-f(x);f(2a+x)=-f(-x);
易知,y=f(x)为偶(或奇)函数分别为性质一(或二)当a=0时的特例;
;
1.
f(x+a)=f(x)
周期:|a|
2.
f(x+a)=-f(x)
周期:2|a|
(x+a)=(或周期:2|a|
4.
f(x+a)=f(x-a)
周期:2|a|
5.
f(x+a)=-f(x-a)
周期:4|a|
(x+a)=(或)周期:4|a|
(x+2a)=f(x+a)-f(x)周期:6|a|
>0,f(px)=f(px-)周期:
:
若y=f(x)的图像对于直线x=a,x=b对称(a不等于b),则f(x)是周期函数,
且周期T=2|a-b|;
特例:若y=f(x)是偶函数且其图像对于直线x=a对称,则周期T=2|a|;
若y=f(x)对于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期函数,且周期T=2|a-b|;
若y=f(x)的图像对于直线x=a,对称中心(b,0)对称(a不等于b)则f(x)为周
期函数,且周期T=4|a-b|;
特例;若y=f(x)是奇函数且其图像对于直线x=a对称,则周期T=4|a|;
综上:若函数的图像同时具备两种对称性,两条对称轴或两个对称中心,或一条对称轴
一个对称中心,则函数必然为周期函数。(另:内同为周期,内反为对称)
.