重要的知识点
1 矢性函数,矢径,坐标表示方法
2 矢端曲线,可表示为曲线方程或参数方程
3 矢性函数的极限、导数、微分、不定积分与定积分,基本运算法则
4 矢性函数导数、微分的几何意义(物理意义)。圆函数
5 数量场、矢量场
6 数量场的等值面、等值线
7 如何求等值面方程
8 数量场的方向导数、梯度,二者的关系,其基本运算公式
9 数量场对弧长的导数
10 矢量场的矢量线(区别于矢端曲线)
11 如何求矢量线方程
12 矢量场的通量、散度,基本运算公式,高斯公式(二维为格林公式)
13 正源与负源
14 环量、环量面密度、旋度,基本运算,斯托克斯公式
15 环量面密度、旋度的关系
16 有势场、无旋场、保守场、梯度场,充要条件
17 势函数的求解法
18 无源场、管形场、旋度场,充要条件
19 矢势量的求解方法
20 调和场,无旋无源场,调和函数,拉普拉斯方程
(二维/平面调和场的势函数与力函数, 共轭调和函数)
21 哈密顿算子,拉普拉斯算子基本表示方法
22 梯度、散度、旋度的算子表示方法, 基本运算法则
拉普拉斯算子, div grad() , ,
求穿过非封闭曲面的通量
解题思路:
计算散度,如果散度为常数,则尝试高斯公式。对于非封闭曲面,可考虑先用形状简单的曲面,将其补偿为封闭面。
如果散度不是常数或在一些区域无定义,则不考虑高斯公式,直接采用通量的一般计算式(p51例3)
求势函数的两种方法
判断矢量场是否保守(有势),并计算曲线积分
解题思路:
计算该矢量场的旋度。若无旋,则根据有势场充要条件(p68定理1),该场保守、有势,积分与路径无关,然后任意选取最简捷的路径计算曲线积分;如果有旋度,则按曲线积分一般方法进行计算。
证明为管形场
解题思路:
对该矢量场求散度或
可将所有矢量展开成坐标表达式进行运算(有效但十分繁琐)
或根据p65旋度基本公式计算
(梯度场无旋)
沿曲线,的环量=?
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